2006年高中数学必修模块复习训练题



2006 年高中数学必修模块复习训练题
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) (
  1) 设全集 I = {
  1, , , , , , },A = {
  1, , , },C I B = {
  4, , , },则 C I A I B =( 234567 247 567 (A) {
  1, , } 23 (B) {
  3, , } 56 (C) {3} (D) {
  1, } 5 ) .
(
  2)已知函数 f ( x ) = ( ) ,且函数 g ( x ) 的图象与 f ( x ) 的图象关于直线 y = x 对称,则
x
1 2
g ( x 2 ) 是(
). (B)偶函数且在 (
  0,+ ∞) 上单调递增 (D) 奇函数且在 (0,+∞) 上单调递减
(A)偶函数且在 ( ?∞,
  0) 上单调递增 (C)奇函数且在 ( ?∞,
  0) 上单调递减 (
  3) 已知数列 {a n } 中, a n ≠ 0, a1 = 1,
1 a n +1
=
1 + 3(n ∈ N * ) ,则 a10 的值为( ). an
(C)
(A)28
(B)33
1 28
0
(D)
1 33
(
  4) 三角形三内角的大小成等差数列,如果最小角为 45 ,最小边长为 2 ,那么最大边的 长为( (A) 3 ). (B)
1 1 ( 6 +
  2) (C) 6 + 2 (D) ( 6 ?
  2) 2 2 1 1 π 3π (
  5) 已知 tan α = , tan β = ,0 < α < , π < β < .则 α + β 的值是( ). 2 3 2 2 π 3π 5π 7π (A) (B) (C) (D) 4 4 4 4
(
  6) 棱长为 3 的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( (A) 16π (B) 27π (C) 9π ). (D) π
9 2

  7)已知函数 y = A sin(ωx + ? ) + m 的最大值是
  4,最小值为
  0,最小正周期为
π
2
,直线
x=
π
3
是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是(
).
(A) y = 4 sin( 4 x + (C) y = 2 sin( 4 x +
π π
6
) )+2
(B) y = 2 sin( 2 x + (D) y = 2 sin( 4 x +
π π
3
)+2 )+2
3
6

  8)一个容量为 20 的样本数据,数据的分组及各组的频数如下: (
  10,
  20) (
  20,
  30) ,
  2; ,
  3; (
  30,
  40) ,
  4; (
  40,
  50) ,
  5; (
  50,
  60) ,
  4; (
  60,
  70) ,
  2.则样本在区间( ? ∞, )上 50 的频率为( ).
(A)
  0.5
(B)
  0.7
3 3
(C)
  0.25
(D)
  0.05

  9)某地每年消耗木材 20 万 m ,每 m 价 240 元,为了减少木材消耗,决定按 t \% 征收木 材税,这样每年的木材消耗量减少
5 t万m 3 ,为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少 2
(C)[
  4,6] (D)[
  3,5]
于 90 万元,则 t 的范围是( ). (A)[1,3] (B)[
  2,4]
2 2 (
  10)对于圆 x + ( y ?
  1) = 1 上的任意一点 P ( x, y) 恒有 x + y + m > 0 ,则 m 的取值范围
一定是( (A)m >
).
2 ?1
(B)0 < m <
2 ? 1 (C)m = 2 ? 1
(D) 2 ? 1 < m < 1
二、填空题::(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) (
  11)若 sin(
π
2
+α) =
3 ,则 cos 2α = . 5

  12)在等比数列 {a n } 中,a 3 + a8 = 124, a 4 a 7 = ?512 ,且公比 q 为整数,则 a10 = . (
  13)设函数 f ( x) = ?
?2 ? x , ( x ∈ (?∞,1]) ?log 81 x, ( x ∈ (1,+∞)
1
, 则满足 f ( x ) =
1 的 x 值为。 4
( 14 ) 设 f ( x ) =
2 + 2
x
, 则 f ( ?
  5) + f ( ?
  4) + L f (
  0) + L + f (
  5) + f (
  6) 的 值 为
。 三、解答题: (
  15) (本小题满分 12 分) 已知 a = 2, b = 1, a与 b 的夹角为
π
3
,若向量 (2a + k b) ⊥ ( a + b) ,求 k 的值。

  16) (本小题满分 13 分)
求函数 y = sin x + 2 3 sin x cos x ? cos x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在
4 4
[
  0, π ] 上的单调递增区间。

  17) (本小题满分 13 分) 四棱椎 P-ABCD 的底面是菱形,O 是 AB 与 CD 交点,PC ⊥ 平面 ABCD,E 是 PA 的 中点,求证: (
  1)OE∥平面 PCD (
  2)平面 BDE ⊥ 平面 ABCD
P
E D O A B C

  18) (本小题满分 14 分) 已知圆 C: x + y ? 2 x + 4 y ? 4 = 0 ,问是否存在斜率为 1 的直线 l ,使 l 被圆 C 截得弦
2 2
AB,以 AB 为直径的圆经过原点。若存在,写出直线 l 的方程;若不存在,说明理由。

  19) (本小题满分 14 分)
,T 2 = 4 , 设 {a n } 为等比数列, Tn = na1 + (n ?
  1)a2 + L + 2an ?1 + an ,已知 T1 = 1

  1)求数列 {a n } 的首项和公比; (
  2)求数列 {Tn } 的通项公式。
(
  20) (本小题满分 14 分) 设二次函数
f ( x) = ax 2 + bx + c(a >
  0), 方 程 f ( x) ? x = 0 的 两 个 根 x1 、 x2 满 足
1 0 < x1 < x2 < , a
(
  1) 当 x ∈ (0, x1 ) 时,证明 x < (
  2) 设函数
f ( x) < x1 ; x1 2
f (x) 的图象关于直线 x = x0 对称,证明: x0 <
参考答案
一 选择题:
1 C
(
  11) ?
2 A
7 ; 25
3 C
4 B
5 C
6 B
7 D
8 B
9 D
10 A
二 填空题: (
  12) 512; (
  13) 3; (
  14) 3 2 ;
(
  15) 解: a ? b = a b cos
π
3
= 2 ×
  1×
1 =1 2
又 ( 2a + k b) ? ( a + b) = 0 得 k = ?5 (
  16)解:
y = sin 2 x ? cos 2 x + 3 sin 2 x = 3 sin 2 x ? cos 2 x = 2( 3 1 sin 2 x ? cos 2 x) 2 2
= 2(sin 2 x cos = 2 sin(2 x ?
最小正周期 T = π 当 x = kπ ?
π
)
π
6
6
? sin
π
6
cos 2 x)
π
6
(k ∈ Z ) 时, y min = ?2 1 5 π ], π, π ] 。 [ 3 6
所求单调递增区间是 [
  0,

  17)证明: 因为四边形 ABCD 是菱形,所以 O 为 AC 中点。
(又E是PA中点,
∴ OE // PC
又PC ? 平面PCD,OE ? 平面PCD ∴ OE //平面PCD (
  2) Q PC ⊥ 平面ABCD
OE // PC ∴ OE ⊥ 平面ABCD
又OE ? 平面BDE ∴平面BDE ⊥ 平面ABCD
(
  18) x ? y + 1 = 0, x ? y ? 4 = 0
,T 2 = 2a1 + a2 = a1 (2 + q) = 4 (
  19)解:(
  1)设公比为 q , T1 = a1 = 1 ,q = 2 所以 a1 = 1
(
  2) Tn = n ? 1 + (n ?
  1) ? 2 + L + 2 ? 2 2 Tn = n ? 2 + (n ?
  1) ? 2 + L + 2 ? 2
2
n ?2
+ 1 ? 2 n?1
n ?1
+ 1? 2n
得 :
n ?2 n
②-①
Tn = n ? 2 + (n ?
  1) ? 2 + L + 2 ? 2
2
n ?1
+ 1 ? 2 ? [n ? 1 + (n ?
  1) ? 2 + L + 2 ? 2
+ 1? 2
n ?1
]
= ?n + 2 + 2 + L + 2
2
n ?1
+2
= 2 n+1 ? (n +
  2)

  20)证明:因为 x1 , x 2 是方程 则 F(x) = a(x ? x1 )(x ? x2 ) (
  1) 当 x ∈ (0, x1 ) 时,由 x1 即 F ( x) = 又
f ( x) ? x = 0 的两根,令 F ( x) = f ( x) ? x
< x2 及a > 0,有F( x) = a( x ? x1 )(x ? x2 ) > 0
f ( x) ? x > 0, f ( x) > x ,
x1 ? f ( x) = x1 ? [ x + F ( x)] = x1 ? x ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) = ( x1 ? x)[1 + a( x ? x2 )]
因为 0 <
x < x1 < x2 <
1 . a > 1 ? ax2 > 0
所以 x1 ? x > 0,1 + a( x ? x2 ) = 1 + ax ? ax2 得 x1
> f ( x) ,所以 x < f ( x) < x1 x0 = ? b , 因 为 x
  1,x 2 是 f ( x) ? x = 0 的 根 , 即 x
  1,x 2 是 方 程 2a
(
  2) 依 题 意
ax 2 + (b ?
  1) x + c = 0 的根。
所以 x1 + x2
=?
b ?1 a
x0 = ?
b a( x1 + x2 ) ? 1 ax1 + ax2 ? 1 = = 2a 2a 2a
<1 即ax2 ? 1 < 0,故x0 = ax1 + ax2 ? 1 ax1 x1 < = 2a 2a 2
因为 ax2
 

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