2008年高考上海文科数学试卷及答案



2008 年全国普通高等学校招生统一考试( 2008 年全国普通高等学校招生统一考试(上 海 卷 ) 数 学 试 卷 (文 史 类 )
考生注意:
  1.答卷前,考生务必将姓名、高考准考证号、校验码等填写清楚.
  2.本试卷共有 21 道试题,满分 150 分.考试时间 120 分钟.请考生用钢笔或圆珠笔将 答案直接写在试卷上. 只要求直接填写结果, 一.填空题(本大题满分 44 分)本大题共有 11 题,只要求直接填写结果,每个空格填对 填空题( 否则一律得零分. 得 4 分,否则一律得零分.
  1.不等式 | x ? 1|< 1 的解集是 . . . .

  2.若集合 A = {x | x ≤ 2} 、 B = {x | x ≥ a} 满足 A I B = 2 ,则实数 a =
  3.若复数 z 满足 z = i (2 ? z ) ( i 是虚数单位) ,则 z =
  4.若函数 f ( x ) 的反函数 f
?1
( x) = log 2 x ,则 f ( x) = r r

  5.若向量 a 、 b 满足 | a |= 1 , | b |= 2 ,且 a 与 b 的夹角为
r
r
r
r
π
3
,则 | a + b |= . .
r
r


  6.若直线 ax ? y + 1 = 0 经过抛物线 y 2 = 4 x 的焦点,则实数 a =
  7.若 z 是实系数方程 x 2 + 2 x + p = 0 的一个虚根,且 | z |= 2 ,则 p =

  8.在平面直角坐标系中,从五个点: A(0,
  0) 、 B (2,
  0) 、 C (1,
  1) 、 D (0,
  2) 、 E (2,
  2) 中任 取三个,这三点能构成三角形的概率是 (结果用分数表示) .

  9.若函数 f ( x ) = ( x + a )(bx + 2a ) (常数 a, b ∈ R )是偶函数,且它的值域为 (?∞, 4] ,则 该函数的解析 f ( x ) = .

  10.已知总体的各个体的值由小到大依次为
  2,
  3,
  3,
  7, a , b ,
  12,
  13。
  7,
  18.
  3,
  20,且 总体的中位数为
  10.
  5.若要使该总体的方差最小,则 a 、b 的取值分别是 .

  11.在平面直角坐标系中,点 A 、B 、C 的坐标分别为 (0,
  1) 、(4,
  2) 、(2,
  6) .如果 P ( x, y ) 是 ?ABC 围成的区域 (含边界) 上的点, 那么当 w = xy 取得最大值时, P 的坐标是 点 .
二.选择题(本大题满分 16 分)本大题共有 4 题,每题都给出代号为 A,B,C,D 的四 选择题( , , , 个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内, 个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内, 不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内) ,一律得零 选对得 4 分,不选、选错或者选出的代号超过一个(不论是否都写在圆括号内) 一律得零 , 分.

  12.设 P 椭圆 ( ) A .4
x2 y 2 + = 1 上的点.若 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点,则 | PF1 | + | PF2 | 等于 25 16
B.5
C.8
D.10

  13.给定空间中的直线 l 及平面 α .条件“直线 l 与平面 α 内两条相交直线都垂直”是“直 线 l 与平面 α 垂直”的( A.充分非必要条件 C.充要条件 ) B.必要非充分条件 D.既非充分又非必要条件

  14.若数列 {an } 是首项为
  1,公比为 a ? 值是( A.1 ) B.2
3 的无穷等比数列,且 {an } 各项的和为 a ,则 a 的 2 1 2 5 4
C.
D.

  15. 如图, 在平面直角坐标系中,? 是一个与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴分别相切于点 C 、
D 的定圆所围成的区域(含边界) A 、 B 、 C 、 D 是该圆的四等 ,
分点.若点 P ( x, y ) 、点 P′( x′, y ′) 满足 x ≤ x′ 且 y ≥ y ′ ,则称 P 优 于 P′ .如果 ? 中的点 Q 满足:不存在 ? 中的其它点优于 Q ,那么 所有这样的点 Q 组成的集合是劣弧( A. AB B. BC ) C. CD D. DA
三.解答题(本大题满分 90 分)本大题共有 6 题,解答下列各题必须写出必要的步骤. 解答题( 解答下列各题必须写出必要的步骤.
  16. 本题满分 12 分) . (本题满分 ( 如图,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是 BC1 的中点.求直线 DE 与平面
ABCD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) .

  17. 本题满分 13 分) . (本题满分 (
如图,某住宅小区的平面图呈扇形 AOC .小区的两个出入口设置在点 A 及点 C 处.小 区里有两条笔直的小路 AD 、DC , 且拐弯处的转角为 120 . 已知某人从 C 沿 CD 走到 D 用 了 10 分钟,从 D 沿 DA 走到 A 用了 6 分钟.若此人步行的速度为每分钟 50 米,求该扇形 的半径 OA 的长(精确到 1 米) .
o

  18. 本题满分 15 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 10 分. . (本题满分 个小题, ( 已知函数 f ( x ) = sin 2 x ,g ( x ) = cos(2 x ? 的图象分别交于 M 、 N 两点. (
  1)当 t =
π
6
), 直线 x = t( t ∈ R ) 与函数 f ( x) 、g ( x)
π
4
时,求 | MN | 的值;

  2)求 | MN | 在 t ∈ [0,
π
2
] 时的最大值.

  19. 本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 8 分. . (本题满分 个小题, (
已知函数 f ( x ) = 2 ?
x
1 . 2| x|

  1)若 f ( x ) = 2 ,求 x 的值; (
  2)若 2 f (2t ) + mf (t ) ≥ 0 对于 t ∈ [1, 2] 恒成立,求实数 m 的取值范围.
t

  20. 本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 . (本题满分 个小题, ( 小题满分 7 分. 已知双曲线 C :
x2 ? y2 =
  1. 2

  1)求双曲线 C 的渐近线方程; (
  2)已知点 M 的坐标为 (0,
  1) .设 P 是双曲线 C 上的点, Q 是点 P 关于原点的对称 点.记 λ = MP ? MQ .求 λ 的取值范围; (
  3)已知点 D 、 E 、 M 的坐标分别为 (?2, ?
  1) 、 (2, ?
  1) 、 (0,
  1) , P 为双曲线 C 上 在第一象限内的点.记 l 为经过原点与点 P 的直线, s 为 ?DEM 截直线 l 所得线段的长.试 将 s 表示为直线 l 的斜率 k 的函数.
uuur uuuu r

  21. 本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 . 本题满分 (本题满 个小题, (
小题满分 8 分. 已知数列 {an } : a1 = 1 , a2 = 2 , a3 = r , an + 3 = an + 2 ( n 是正整数) ,与数列 {bn } :
b1 = 1 , b2 = 0 , b3 = ?1 , b4 = 0 , bn + 4 = bn ( n 是正整数) .记 Tn = b1a1 + b2 a2 + b3 a3 + L + bn an .

  1)若 a1 + a2 + a3 + L + a12 = 64 ,求 r 的值; (
  2)求证:当 n 是正整数时, T12 n = ?4n ; (
  3)已知 r > 0 ,且存在正整数 m ,使得在 T12 m +1 ,T12 m + 2 ,…,T12 m +12 中有 4 项为 1
  00.求
r 的值,并指出哪 4 项为 1
  00.
年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷) 2007 年全国普通高等学校招生统一考试(上海卷) 数学试卷(文史类) 数学试卷(文史类)答案要点
一、填空题(第 1 题至第 11 题) 填空题(
  1. (0,
  2)
  5. 7
  9. ?2 x + 4
2

  2. 2
  6.-1

  3. 1 + i
  7. 4

  4. 2 ( x ∈ R )
x

  8.
4 5

  10. a =
  10.5 , b =
  10.5

  11. ( ,
  5)
5 2
二、选择题(第 12 题至第 15 题) 选择题(
题 答
号 案
12 D
13 C
14 B
15 D
三、解答题(第 16 题至第 21 题) 解答题(
  16.解:过 E 作 EF ⊥ BC ,交 BC 于 F ,连接 DF . ∵ EF ⊥ 平面 ABCD ∴ ∠EDF 是直线 DE 与平面 ABCD 所成的角. …… 4 分 由题意,得 EF = ∵ CF =
1 CC1 = 1 . 2
…… 8 分
1 CB = 1 ,∴ DF = 5 . 2
∵ EF ⊥ DF ,∴ tan ∠EDF =
EF 5 = . DF 5
……10 分
故直线 DE 与平面 ABCD 所成角的大小是 arctan
5 . 5
…… 12 分

  17.解法一:设该扇形的半径为 r 米.由题意,得
CD = 500 (米) DA = 300 (米) ∠CDO = 60o . , ,
在 ?CDO 中, CD + OD ? 2CD ? OD ? cos 60 = OC ,
2 2
o
…… 4 分
2
…… 6 分 …… 9 分
即 500 + ( r ? 3
  00) ? 2 × 500 × ( r ? 3
  00) ×
2 2
1 = r2 , 2
4900 ≈ 445 (米) . 11 答:该扇形的半径 OA 的长约为 445 米.
解得 r =
…… 13 分
解法二:连接 AC ,作 OH ⊥ AC ,交 AC 于 H .
o
…… 2 分 …… 4 分
, , 由题意,得 CD = 500 (米) AD = 300 (米) ∠CDA = 120 . 在 ?ACD 中, AC = CD + AD ? 2 AD ? CD ? cos120
2 2 2 o
= 500 2 + 3002 + 2 × 500 × 300 ×
∴ AC = 700 (米) ,
1 = 7002 2
…… 6 分 …… 9 分
AC 2 + AD 2 ? CD 2 11 cos ∠CAD = = . 2 AC ? CD 14
在直角 ?HAO 中, AH = 350 (米) cos ∠HAO = ,
11 , 14
AH 4900 = ≈ 445 (米) . cos ∠HAO 11 答:该扇形的半径 OA 的长约为 445 米.
∴ OA =
…… 13 分

  18.解: (
  1) | MN |=| sin( 2 ×
π
4 2π 3 =|1 ? cos |= . 3 2
) ? cos(2 ×
π
+ )|. 4 6
π
…… 2 分 ……5 分

  2) | MN |=| sin 2t ? cos(2t +
π
3 3 ) |=| sin 2t ? cos 2t | . 6 2 2
……8 分
∵ t ∈ [0,
π
2
= 3 | sin(2t ? ) | . 6 ] , 2t ?
π
……11 分
π
6
∈ [?
π
,π ? ] , 6 6
π
……13 分 ……15 分
∴ | MN | 的最大值为 3 .

  19.解: (
  1)当 x < 0 时, f ( x ) = 0 ;当 x ≥ 0 时, f ( x ) = 2 ?
x
1 . 2x
……2 分 ……6 分 ……8 分 ……10 分
由条件可知 2 ?
x
1 = 2 ,即 22 x ? 2 ? 2 x ? 1 = 0 ,解得 2 x = 1 ± 2 . x 2
∵ 2 > 0 ,∴ x = log 2 (1 +
  2) .
x

  2)当 t ∈ [1, 2] 时, 2 (2 ?
t
2t
1 1 ) + m(2t ? t ) ≥ 0 , 2t 2 2
即 m(2 2t ?
  1) ≥ ?( 2 4t ?
  1) ,
2t ∵ 2 > 0 ,∴ m ≥ ?(2 +
  1) . 2t
……13 分
∵ t ∈ [1, 2] ,∴ ?(1 + 2 ) ∈ [ ?17, ?5] ,
2t
故 m 的取值范围是 [ ?5, +∞) .
……16 分

  20.解: (
  1)所求渐近线方程为 y ?
2 2 x=
  0,y+ x =
  0. 2 2
……3 分

  2)设 P 的坐标为 ( x0 , y0 ) ,则 Q 的坐标为 (? x0 , ? y0 ) .
……4 分
λ = MP ? MQ = ( x0 , y0 ?
  1) ? (? x0 , ? y0 ) = ? x0 2 ? y0 2 + 1 = ? x0 2 + 2 .
∵ | x0 |≥
uuur uuuu r
3 2
……7 分

  2,
……9 分
∴ λ 的取值范围是 (?∞, ?1] . (
  3)若 P 为双曲线 C 上第一象限内的点,则直线 l 的斜率 k ∈ (0, 由计算可得,当 k ∈ (0, ] 时, s ( k ) = 当k ∈( ,
2 ). 2
……11 分
1 2
2 1+ k 2 ; 2 1? k
……15 分
1 2
2 2k + 1 1+ k 2 . ) 时, s (k ) = 2 2 k +k
1 ? 2 1+ k 2 , 0 < k ≤ , 2 ?1 ? k 2 ? . ∴ s 表示为直线 l 的斜率 k 的函数是 s ( k ) = ? ? 2k + 1 1 + k 2 , 1 < k < 2 . ?k + k2 2 2 ?
……16 分

  21.解: (
  1) a1 + a2 + a3 + L + a12
= 1 + 2 + r + 3 + 4 + r + (r +
  2) + 5 + 6 + (r +
  4) + 7 + 8 + (r +
  6)
= 48 + 4r .
∵ 48 + 4r = 64 ,∴ r = 4 . (
  2)用数学归纳法证明:当 n ∈ Z 时, T12 n = ?4n . ①当 n = 1 时, T12 = a1 ? a3 + a5 ? a7 + a9 ? a11 = ?4 ,等式成立. ②假设 n = k 时等式成立,即 T12 k = ?4k ,那么当 n = k + 1 时, ……6 分
+
……2 分 ……4 分
T12( k +
  1) = T12 k + a12 k +1 ? a12 k +3 + a12 k +5 ? a12 k + 7 + a12 k +9 ? a12 k +11
……8 分
= ?4k + (8k +
  1) ? (8k + r ) + (8k +
  4) ? (8k +
  5) + (8k + r +
  4) ? (8k +
  8) = ?4k ? 4 = ?4(k +
  1) ,等式也成立.
根据①和②可以断定:当当 n ∈ Z 时, T12 n = ?4n . . (
  3) T12 m = ?4m ( m ≥ 1 ) 当 n = 12m + 1 , 12m + 2 时, Tn = 4m + 1 ; 当 n = 12m + 3 , 12m + 4 时, Tn = ?4m + 1 ? r ; 当 n = 12m + 5 , 12m + 6 时, Tn = 4m + 5 ? r ; 当 n = 12m + 7 , 12m + 8 时, Tn = ?4m ? r ; 当 n = 12m + 9 , 12m + 10 时, Tn = 4m + 4 ; 当 n = 12m + 11 , 12m + 12 时, Tn = ?4m ? 4 . ∵ 4m + 1 是奇数, ?4m + 1 ? r , ?4m ? r , ?4m ? 4 均为负数, ∴这些项均不可能取得 1
  00. ……15 分 ∴ 4m + 5 ? r = 4m + 4 = 100 ,解得 m = 24 , r = 1 , 此时 T293 , T294 , T297 , T298 为 1
  00. ……18 分
+
……10 分
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【珍藏精品】2011届高考第一轮总复习高考物理满分练兵场:3-2

  2011 届高考第一轮总复习满分练兵场第3章 第2讲一、选择题 1.(2009?四川成都诊断性检测)一个质量为 1kg、初速度不为零的物体,在光滑水平面 上受到大小分别为 1N、3N 和 5N 的三个水平方向的共点力作用,则该物体 ( ) A.可能做匀速直线运动 B.可能做匀减速直线运动 C.不可能做匀变速曲线运动 D.加速度的大小不可能是 2m/s2 [答案] B [解析] 1N、3N 和 5N 三个力的合力在 1N 到 9N 范围内变化,合力不可能为零,物体 不会平衡, 不正确. A 如果合 ...