2009?2010学年度第二学期高三数学 综合三



2009?2010 学年度第二学期
高三年级(理科)数学综合测试题(三)
(完成时间:120 分钟)
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.

  1.已知集合 P = {4,5,6},Q = { ,2,3} ,定义 P ? Q = {x | x = p ? q, p ∈ P, q ∈ Q},则集合 P ? Q 1 的所有真子集的个数为 A.32 B.31
  2.已知函数 f ( x ) = cos x + ( C.30 ( x∈R) ,则下列叙述错误的是 D.以上都不对 ( ) )
π
2
A. f ( x ) 的最大值与最小值之和等于 π B. f ( x ) 是偶函数 C. f ( x ) 在 [1, 2] 上是增函数 D. f ( x ) 的图像关于点 ?
?π π ? , ? 成中心对称 ?2 2?

  3.某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有 150 个、120 个、180 个、150 个销售点。公司为了调查 产品销售的情况,需从这 600 个销售点中抽取一个容量为 100 的样本,记这项调查为①;在丙 地区中有 20 个特大型销售点,要从中抽取 7 个调查其收入和售后服务等情况,记这项调查为 ( ) ② 则完成①、②这两项调查宜采用的抽样方法依次是 A.分层抽样法,系统抽样法 B.分层抽样法,简单随机抽样法 C.系统抽样法,分层抽样法 D.简单随机抽样法,分层抽样法
新疆 王新敞
奎屯

  4. 用数学归纳法证明 1 + 2 + 3 + L + n =
2
n4 + n2 , 则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加上 ( 2
B. (k+
  1)2 D. 2+
  1)+(k2+
  2)+(k2+
  3)+…+(k+
  1)
  2. (k

A.k
  2+1 C.
(k +
  1)4 + (k +
  1) 2 2

  5.已知两个不同的平面α 、 β 和两条不重合的直线,m、n,有下列四个命题: ③若 m ⊥ α , m // n, n ? β , 则α ⊥ β ; 其中不正确 不正确的命题的个数是 ( ) 不正确 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个
  6.右图是一个空间几何体的三视图,根据图中尺寸(单位: cm ), 可知几何体的表面积是( ) A. 18 + 3 C. 17 + 2 3 B. 16 + 2 3 D. 18 + 2 3 ①若 m // n, m ⊥ α ,则 n ⊥ α ②若 m ⊥ α , m ⊥
β , 则α // β ; ④若 m // α , α I β = n, , 则m // n

  7. ?ABC 中,a, b, c 分别为三个内角 A、 C 所对的边,设向量 m = ( b ? c, a ? c ) , n = ( a + c, b ) , 在 B、 若向量 m//n,则角 A 的大小为 ( )
A.
π
6
B.
π
3
C.
π
2
D.
2π 3
? x ? y ≥
  0, ?2 x + y ≤
  2, ? 表示的平面区域是一个四边形,则 a 的取值范围是(
  8.若不等式组 ? y ≥
  0, ? ?x + y ≤ a ? 4 A. a ≥ B. 0 < a ≤ 1 3 4 4 C. 1 < a < D. 0 < a ≤ 1 或 a ≥ 3 3

  9.对任意 x ∈ R , 2 ? x + 3 + x ≥ a ? 4a 恒成立,则 a 的取值范围是
2



A. ?1 ≤ a ≤ 5 B. ?1 < a ≤ 5
C. ?1 ≤ a < 5
D. ?1 < a < 5

  10.如右图所示的曲线是以锐角 ?ABC 的顶点 B、C 为焦点, 且经过点 A 的双曲线,若 ?ABC 的内角的对边分别为 a, b, c , 且 a = 4, b = 6,
c sin A 3 = ,则此双曲线的离心率为( a 2
B.

A.
3+ 7 2
3? 7 2
C. 3 ? 7
D. 3 + 7

  11. (3 x ? 23 x )11 的展开式中任取一项, 在 则所取项为有理项的概率为 α , 则 A.

1
?1
x α dx = (
1

1 6
B.
2 7
C.
8 9

D.
12 5

  12.已知直线 x = 2 及 x = 4 与函数 y = log 2 x 图像的交点分别为 A, B ,与函数 y = lg x 图像的交 点分别为 C , D ,则直线 AB 与 CD A.相交,且交点在第 I 象限 C.相交,且交点在第 IV 象限 ( B.相交,且交点在第 II 象限 D.相交,且交点在坐标原点
第Ⅱ卷
(非选择题 共 90 分)
小题, 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在 填空题: 题中的横线上。 题中的横线上。

  13.若复数 z=sinα-i(
  1-cosα)是纯虚数,则 α= ; 2
  14.抛物线 y =2x 上的两点 A、B 到焦点 F 的距离之和是
  5,则线段 AB 的中点 M 的横坐标是 ; ;
  15.根据如图所示的算法流程图,可知输出的结果 T 为

  16.设面积为 S 的平面四边形的第 i 条边的边长记为 ai (i =1,2,3,
  4) , P 是该四边形内任意一点, P 点到第 i 条边的距离记为 h i ,若
4 a1 a2 a3 a4 2S .类比上述结论,体 = = = = k ,则 ∑ (ihi ) = 1 2 3 4 k i =1
积为 V 的三棱锥的第 i 个面的面积记为 Si (i = 1, 2,3,
  4) ,Q 是该三棱锥内的任意一点,Q 点到 第 i 个面的距离记为 H i ,相应的正确命题是 ;
小题, 解答应写出文字说明. 三、解答题:共大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤 解答题: ?
  17、正数的数列 {a n } 中, a1 = 1, S n 是数列 {a n } 的前 n 项和,对任意 n ∈ N ,有
2S n = 2 pa n + pa n ? p( p ∈ R) 。
2
(
  1) 求常数 p 的值;
(
  2) 求数列 {a n } 的通项公式。

  18. (本小题满分 12 分)某地区在一年内遭到暴雨袭击的次数用 ξ 表示,椐统计,随机变量 ξ 的概 率分布如下:
ξ
p

  1)求 a 的值和 ξ 的数学期望;
0
1
  0.3
2 2a
3

  0.1
a

  2)假设第一年和第二年该地区遭到暴雨的次数互不影响,求这两年内该地区共遭到暴雨袭击 2 次的概率。

  19. (本小题满分 12 分)如图,沿等腰直角三角形 ABC 的中位线 DE ,将平面 ADE 折起,使得 平面 ADE ⊥ 平面 BCDE 得到四棱锥 A ? BCDE . (
  1)求证:平面 ABC ⊥ 平面 ACD ; (
  2)过 CD 的中点 M 的平面 α 与平面 ABC 平行,试求平面 α 与四棱锥 A ? BCDE 各个面的 交线所围成多边形的面积与三角形 ABC 的面积之比。 (
  3)求二面角 A ? BE ? D 的余弦值。

  20. (本小题满分 12 分)已知定点 C ( ?1,
  0) 及椭圆 x + 3 y = 5 ,过点 C 的动直线与椭圆相交于 A,
2 2
B 两点. (
  1)若线段 AB 中点的横坐标是 ?
1 ,求直线 AB 的方程; 2

  2)在 x 轴上是否存在点 M,使 MA ? MB 为常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,请 说明理由。

  21. (本小题满分 12 分)设函数 f ( x) = x 2 ? 2 x + a ln x 。 (
  1)若函数 f ( x) 是定义域上的单调函数,求实数 a 的取值范围; (
  2)求函数 f ( x) 的极值点。

  22、
  23、 三题中任选一题作答,如果多做, 四、请考生在下面
  22、
  23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记 分.

  22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,已知⊙O1 和⊙O2 相交于点 A、B,过点 A 作⊙O1 的 切线交⊙O2 于点 C,过点 B 作两圆的割线,分别交⊙O
  1、⊙O2 于点 D、E,DE 与 AC 相交于点 P. (?)求证:AD//EC; (?)若 AD 是⊙O2 的切线,且 PA=
  6,PC=
  2, BD=
  9,求 AD 的长.

  23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已知点 P ( x, y ) 是圆 x 2 + y 2 = 2 y 上的动点. (?)求 x + y 的取值范围;(?)若 x + y + a ≥ 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

  24)(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a, b, c, d ∈ R ,且 a 2 + b 2 = 1, c 2 + d 2 = 1 ,求证: | ac + bd |≤ 1
高三年级(理科)数学综合测试题(三)参考答案
1-
  5. BCBDB, 6-
  10. DBCAD,11-
  12. BD
  13. (2k+
  1)π, (k∈Z) ,
  14.
  2,
  15.
  10,
  16. “若
4 S1 S 2 S3 S 4 3V = = = = K ,则 ∑ (iH i ) = ” 。 1 2 3 4 K i =1
其正确性可证明如下:根据三棱锥的体积公式 V =
1 S h 得: 3
1 1 1 1 S1 H 1 + S 2 H 2 + S 3 H 3 + S 4 H 4 = V , 3 3 3 3
即 S1 H 1 + 2 S 2 H 2 + 3 S 3 H 3 + 4 S 4 H 4 = 3V ,∴ H 1 + 2 H 2 + 3 H 3 + 4 H 4 = 即
3V , K
∑ (iH ) =
i =1 i
4
3V 。 K
2 ?

  17.解: (
  1)由 a1 = 1 及 2 S n = 2 pa n + pa n ? p ( n ∈ N ) ,得:
2 = 2p + p ? p
2
∴ p = 1 …………(4 分)
① ②…………(6 分)
2

  2)由 2 S n = 2a n + a n ? 1 得 2 S n +1 = 2a n +1 + a n +1 ? 1
2
由②?①,得
2a n +1 = 2(a n+1 ? a n ) + (a n+1 ? a n )
2
即: 2( a n +1 + a n )( a n +1 ? a n ) ? ( a n +1 + a n ) = 0
∴ (a n +1 + a n )(2a n +1 ? 2a n ?
  1) = 0
由于数列 {a n } 各项均为正数,
…………(8 分)
∴ 2a n +1 ? 2a n = 1

a n+1 ? a n =
1 2
…………(10 分)
1 ∴ 数列 {a n } 是首项为 1 ,公差为 的等差数列, 2 1 n +1 ∴ 数列 {a n } 的通项公式是 a n = 1 + (n ?
  1) × = 2 2
…………(12 分)

  18. 【解析】 (
  1)由概率分布的性质有
  0.1 +
  0.3 + 2a + a = 1 ,解得 a =
  0.2 ,
(2 分)
∴ ξ 的概率分布为 0
  0.1 1
  0.3 2
  0.4 3
  0.2
∴ Eξ = 0 ×
  0.1 +
  1×
  0.3 + 2 ×
  0.4 + 3 ×
  0.2 =
  1.7 。 (6 分)

  2)设事件 A 表示”两年内共遭到暴雨袭击 2 次”, 事件 A1 表示”两年内有一个年遭到暴雨袭击 2 次,另外一年遭到暴雨袭击 0 次”; 事件 A2 表示”两年内各自遭到暴雨袭击 1 次”。 则由事件的独立性得
1 P( A1 ) = C2 P(ξ =
  0) = 2 ×
  0.4 ×
  0.1 =
  0.08
P( A2 ) = [ P(ξ =
  1)]2 =
  0.32 =
  0.09 ∴ P( A) = P( A1 ) + P( A2 ) =
  0.08 +
  0.09 =
  0.17
(10 分)
故两年内该地区共遭到暴雨袭击 2 次的概率为
  0.17 。 (12 分)
  19.解析:
  1) AD ⊥ DE ,平面 ADE ⊥ 平面 BCDE , ( ) 根据两个平面垂直的性质定理得 AD ⊥ 平面 BCDE , 所以 AD ⊥ BC ,又 CD ⊥ BC ,根据线面垂直的判定定理 BC ⊥ 平面 ACD , BC ? 平面 ABC ,所以平面 ABC ⊥ 平面 ACD 。 分) (4 (
  2)由于平面 α 平面 ABC ,故平面 ACD 与平面 α 的交线 MQ )
AC ,
M 是 CD 的中点,故 Q 是 AD 的中点;同理平面 BCDE 与平面 α 的交线 MN BC , N 为 BE 的中点;平面 ABE 的交线 NP AB , P 为 AE 的中点,
连接 PQ 即为平面 α 与平面 ADE 的交线, 故平面 α 与四棱锥 A ? BCDE 各个面的交线所围成多边形是图中的四边形 MNPQ , 由于 PQ DE , DE MN ,故 PQ MN ,根据(
  1) BC ⊥ AC , 由 MN
BC , MQ AC ,故 MQ ⊥ MN ,即四边形 MNPQ `是直角梯形。 分) (6
2a, MN = 3a, PQ = a, BC = 4a, AC = 2 2a , a + 3a 故四边形 MNPQ 的面积是 × 2a = 2 2a 2 , 2 1 2 三角形 ABC 的面积是 × 4a × 2 2a = 4 2a , 2 故平面 α 与四棱锥 A ? BCDE 各个面
的交线所围成多边形的面积与 三角形 ABC 的面积之比为
设 CM = a ,则 MQ =
2 2a 2 1 = 。 分) (8 4 2a 2 2

  3)方法
  1. AD ⊥ 平面 BCDE , AD ⊥ BE , ) 过点 D 做 BE 的垂线交 BE 的延长线于点 G , 连接 AG ,则 BG ⊥ 平面 ADG , 从而 AG ⊥ BG , 所以 ∠AGD 即为二面角 A ? BE ? D 的平面角。 (10 分) 设 DE = 2 ,则 AD = 2, DE =
2 ,则 AG = 6 ,
故二面角 A ? BE ? D 的余弦值等于
2 3 = 。 (12 分) 3 6
uuu r uuu r
方法
  2.建立如图所示的空间直角坐标系,用空间向量法求解。 设 DE = 1 ,则 E (0,1,
  0) , A(0, 0,
  1) , B (1, 2,
  0) , AE = (0,1, ?
  1), EB = (1,1,
  0) , 设 n = ( x, y , z ) 为平面 ABE 的法向量, 则 AE n = 0 且 EB n = 0 ,即 y ? z = 0 且 x + y = 0 , 取 z = ?1 ,则 x = 1, y = ?1 , 即平面 ABE 的一个法向量为 n 0 = (1, ?1, ?
  1) , (10 分) 又 m = (0, 0,
  1) 为平面 DBE 的一个法向量,
r
uuu r r
uuu r r
r
ur
r n0 二面角 A ? BE ? D 是锐二面角,故其余弦值为 r n0
ur m 1 3 。 (12 分) = ur = 3 3 m

  20.解 (
  1)依题意,直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=k(x+
  1), 将 y=k(x+
  1)代入 x2+3y2=5, 消去 y 整理得(3k2+
  1)x2+6k2x+3k2-5=
  0. …………2 分 设 A(x1,y
  1),B(x2,y
  2),
?? = 36k 4 ? 4(3k 2 +
  1)(3k 2 ?
  5) > 0, ? 6k 2 则? . ? x1 + x 2 = ? 2 3k + 1 ?
由线段 AB 中点的横坐标是- , 得
1 2
① ②
…………4 分
x1 + x 2 3 3k 2 1 =- 2 =- ,解得 k=± ,适合①. 2 2 3 3k + 1
……………5 分
所以直线 AB 的方程为 x- 3 y+1=0,或 x+ 3 y+1=
  0.………………6 分 (
  2)假设在 x 轴上存在点 M(m,
  0) ,使 MA ? MB 为常数. (?)当直线 AB 与 x 轴不垂直时,由(
  1)知 x1+x2=- ?
6k 2 3k + 1
2
,x1x2=
3k 2 ? 5 3k 2 + 1
. ③
所以 MA ? MB =(x1-m) 2-m)+y1y2 (x 2 =(x1-m) 2-m)+k (x1+
  1) 2+
  1)=(k2+
  1)x1x2+(k2-m) 1+x
  2)+k2+m
  2.…………8 分 (x (x (x 将③代入,整理得
MA ? MB =
(6m ?
  1)k 2 ? 5 3k 2 + 1
+m
2
1 14 (2m ? )(3k 2 +
  1) ? 2m ? 3 3 +m2 = 3k 2 + 1
=m2+2m- -
1 6m + 14 . 3 3(3k 2 +
  1)
………………9 分
注意到 MA ? MB 是与 k 无关的常数,从而有 6m+14=
  0,m=- ,此时 MA ? MB = . (?)当直线 AB 与 x 轴垂直时, 此时点 A,B 的坐标分别为 ? ? 1, ?
? ? ? ? 2 ? ? 、 ? ? 1,? 2 ? , ? 3? 3? ? ? ?
7 3 4 9
………………10 分
当 m=- 时,亦有 MA ? MB = . 综上,在 x 轴上存在定点 M ? ? ,0 ? ,使 MA ? MB 为常数. …………12 分 ? ?
7 ? 3 ?
7 3
4 9

  21.
  1)f '( x) = 2 x ? 2 + (
a 2 x2 ? 2 x + a = , 若函数 f ( x ) 是定义域上的单调函数, 则只能 f '( x ) ≥ 0 x x
2 2
在 (0, +∞ ) 上恒成立,即 2 x ? 2 x + a ≥ 0 在 (0, +∞ ) 上恒成立恒成立,令 g ( x ) = x ? 2 x + a , 则函数
 

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化学必修2专题1化学测试题

  扬中西区校 2008-2009 学年第二学期高一化学复习作业纸专题 1 微观结构与物质的多样性 命题人:陈永进 时间:2009 年 6 月 15 日班级 姓名 得分 一.单项选择题:(每题 3 分,共 69 分) 1.科学家目前正在求证一种仅由中个中子组成的微粒,这种微料称为“四中子”,下列关于 该微粒的说法正确的是 A.呈电中性 B.带四个单位负电荷 C.带四个单位正电荷 D.质量数为 2 2.已知元素的原子序数,可以推断出原子的 ①质子数 ②中子数 ③质量数 ④核电荷数 ⑤核外电子数( ) ...

2011语文高考考试大纲

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3.5第三章概率复习

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化学选修3第二章第二节之配合物

  第二节 分子的立体结构配合物理论简介实验2-1 实验 CuSO4 CuCl ?2H O CuBr2 NaCl K2SO4 KBr 2 2 固体颜色 白色 深褐色 白色 白色 白色 绿色 溶液颜色 天蓝色 天蓝色 天蓝色 无色 无色 无色思考:前三种溶液呈天蓝色大概与什么物质有关?依据 思考:前三种溶液呈天蓝色大概与什么物质有关? 是什么? 是什么?H2O H2O Cu H2O OH22+实验2-2 已知氢氧化铜与足量氨水反 实验 应后溶解是因为生成[Cu(NH3)4]2+ , 应后溶解是因为生成 ...