2009届高三数学第二轮复习( 求通项公式)



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第六讲 求通项公式
★★★高考在考什么 高考在考什么 考题回放】 【考题回放】
  1、(2008 江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 23 456 7 8 9 10 。 。 。 。 。 按照以上排列的规律,第 n 行( n ≥ 3 )从左向右的第 3 个数为
  2. (2007广东)已知数列{ an }的前 n 项和 S n = n 9n ,则其通项 an =
2
n2 n + 6 2
;若它的第
k 项满足 5 < ak < 8 ,则 k =
. 2n-10
; 8

  3、(2006 广东)在德国不来梅举行的第 48 届世乒赛期间,某商店橱窗里用同样的乒乓球 堆成若干堆“正三棱锥”形的展品,其中第 1 堆只有 1 层,就一个球;第 2,3, 4, 堆最底层 (第一层) 分别按图 4 所示方式固定摆放, 从第二 层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就放一个乒乓球,以 f (n) 表示第 n 堆的 乒乓球总数,则 f (
  3) = ; f (n) = (答 案用 n 表示). 答案: f (
  3) =
  10, f ( n) =

图4
n(n +
  1)(n +
  2) 6

  4、 (四川省巴蜀联盟 2008 届高三年级第二次联考)如果数列{an}满足 a1 , 首项为
  1,公比为 2 的等比数列,则 a100 等于 A.2100 答案:D B.299 C.25050
a a2 a3 , ,..., n ,... 是 a1 a2 an 1
D.24950

  5、(安徽省巢湖市 2008 届高三第二次教学质量检测)将自然数
  0,
  1,
  2,…按照如下形式进 行摆列: , )
根据以上规律判定,从 2006 到 2008 的箭头方向是(
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答案:C
  6、(2008 广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)如图,将一 个边长为 1 的正三角形的每条边三等分, 以中间一段为边向形外作正三角形, 并擦去中间一 段,得图(
  2),如此继续下去,得图(
  3)……
试用 n 表示出第 n 个图形的边数

an = .
答案:
  3×4n
  1.
  7、(2008 江苏省启东中学高三综合测试三)如图,第 n 个图形是由正 n+2 边形“扩展”而来, (n=1,2,3,…),则第 n-2 个图形中共有 个顶点。
答案:n2+n
  8、(北京市朝阳区 2008 年高三数学一模)设函数 f ( x ) = a1 + a2 x + a3 x + + an x
2 n 1

f (
  0) =

1 2 * , 数 列 {an } 满 足 f (
  1) = n an ( n ∈ N ) , 则 数 列 {an } 的 通 项 an 等 2
.
答案:
1 n(n +
  1)

  9、(北京市十一学校 2008 届高三数学练习题)一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺 品, 如图所示. 若按 照 这 种 规 律 依 次 增 加 一 定 数 量 的 宝石, 则第 5 件 工 艺 品 所 用 的 宝 石数 为 颗;第 n 件 工 艺 品 所 用 的 宝石数 为 颗 (结果用 n 表示).
第1件
第2件
第3件
第4件
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答案:
  66, 2n + 3n + 1
2
10 、 ( 福 建 省 厦 门 市
2008
学 年 高 三 质 量 检 查 ) 已 知 数 列 。
{a n }中, a1 = 20, a n +1 = a n + 2n 1, n ∈ N * , 则数列{a n }的通项公式a n =
答案: n 2n + 21
2
★★★高考要考什么 高考要考什么 一、 根据数列{an}的前 n 项和求通项 Sn= a1+ a2+ a3+ ……+ an Sn,相当于知道了 已知数列前 n 项和 Sn,相当于知道了 n≥2 时候 an,但不可忽视 n=
  1. 二、由递推关系求数列的通项
  1. 利用迭加 an-an-1=f(n)、迭乘 an/an-1=f(n)、迭代。
  2.一阶递推 a n +1 = pa n + q ,我们通常将其化为 (a n +1 A) = p (a n A) 看成{bn}的等比数
S1 (n =
  1) an = S n S n1 (n ≥
  2)
列。
  3.利用换元思想 (变形为前一项与后一项成等差等比关系, 直接写出新数列通项化简得 an) 。
  4.对含 an 与 Sn 的题,进行熟练转化为同一种解题,注意化简时 n 的范围。 ★ ★★ 突 破 重 难 点 【范例
  1】 {an }满足a1 = 1且8an +1 an 16an+1 + 2an + 5 = 0(n ≥
  1). 记 bn = (Ⅰ)求 b
  1、b
  2、b
  3、b4 的值; (Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式及数列 {a n bn } 的前 n 项和 S n . 解析(I) bn = 整
1 1 an 2
(n ≥
  1).
1 an 1 2
得a n =
1 1 + , 代入递推关系 a n +1a n 16a n +1 + 2a n + 5 = 0, 8 bn 2
理 得
4 6 3 4 + = 0, 即bn+1 = 2bn , 由a1 = 1, 有b1 = 2, 所以b2 = 8 , b3 = 4, b4 = 20 . bn +1bn bn+1 bn 3 3 3 4 4 4 4 2 (Ⅱ)由 bn +1 = 2bn , bn +1 = 2(bn ), b1 = ≠ 0, 3 3 3 3 3 4 2 所以 {bn }是首项为 , 公比q = 2的等比数列, 故 3 3
bn
4 1 n 1 4 1 1 得anbn = bn + 1, = 2 , 即bn = 2n + (n ≥
  1).由bn = 1 3 3 3 3 2 an 2 1 (1 2n ) 1 5 1 故Sn = a1b1 + a2b2 + + anbn = (b1 + b2 + + bn ) + n = 3 + n = (2n + 5n
  1). 2 1 2 3 3
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  2, 【变式】数列 {an } 中, a1 = 2 , an +1 = an + cn ( c 是常数, n =
  1,
  3, ),且 a
  1,a
  2,a3 变式】
成公比不为 1 的等比数列.(I)求 c 的值;(II)求 {an } 的通项公式. 解:(I) a1 = 2 , a2 = 2 + c , a3 = 2 + 3c , 因为 a1 , a2 , a3 成等比数列,所以 (2 + c ) = 2(2 + 3c ) ,解得 c = 0 或 c = 2 .
2
当 c = 0 时, a1 = a2 = a3 ,不符合题意舍去,故 c = 2 . (II)当 n ≥ 2 时,由于
a2 a1 = c , a3 a2 = 2c ,
…………
an an 1 = (n
  1)c ,
所以 an a1 = [1 + 2 + + ( n
  1)]c =
n(n
  1) c. 2
2
又 a1 = 2 , c = 2 ,故 an = 2 + n( n
  1) = n n + 2( n =
  2, ) .当 n = 1 时,上式也成
  3, 立,

  2, 所以 an = n n + 2( n =
  1, )
2

  1) 【范例
  2】设数列 {an } 的首项 a1 ∈ (
  0,,an =
3 an 1 ,n =
  2,
  4,… .
  3, 2

  1)求 {an } 的通项公式;(
  2)设 bn = an 3 2an ,证明 bn < bn +1 ,其中 n 为正整数.
3 an 1 1 ,n =
  2,
  4,…,整理得 1 an = (1 an 1 ) .
  3, 2 2 1 又 1 a1 ≠ 0 , 所 以 {1 an } 是 首 项 为 1 a1 , 公 比 为 的 等 比 数 列 , 得 2
解:(
  1)由 an =
1 an = 1 (1 a1 ) 2

  2)方法一:
n 1
由(
  1)可知 0 < an <
3 ,故 bn > 0 .则 2
bn2+1 bn2
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3 an 2 9 an 3 an 2 2 = an +1 (3 2an +1 ) an (3 2an ) = (an
  1) 2 . 3
  2× an (3 2an ) = 2 4 2
2
又由(
  1)知 an > 0 且 an ≠ 1 ,故 bn +1 bn > 0 ,因此 bn < bn +
  1,n 为正整数.
2 2
方法二:由(
  1)可知 0 < an < 因为 an +1 =
3 , an ≠ 1 , 2
3 an ,所以 2
bn +1 = an +1 3 2an +1 =
3 an ,即 2
3
(3 an ) an . 2
2
由 an ≠ 1 可得 an (3 2an ) < 两边开平方得
3 an 2 an (3 2an ) < i an 2
3 an i an .即 bn < bn +
  1,n 为正整数 2 2 【变式】已知数列 {a n }中,对一切自然数 n ,都有 a n ∈ (0,
  1) 且 a n a n +1 + 2a n +1 a n = 0 . 变式】 1 求证:(
  1) a n +1 < a n ; (
  2)若 S n 表示数列 {a n }的前 n 项之和,则 S n < 2a1 . 2 2a n+1 2 , 解析: (
  1)由已知 a n a n +1 + 2a n +1 a n = 0 得 a n = 2 1 a n +1 1 2 又因为 a n ∈ (0,
  1) ,所以 0 < 1 a n +1 < 1 , 因此 a n > 2a n +1 ,即 a n +1 < a n . 2 1 1 1 1 (
  2) 由结论(
  1)可知 a n < a n 1 < 2 a n 2 < < n 1 a1 ,即 a n < n 1 a1 , 2 2 2 2 1 1 1 1 2 于 是 Sn = a1 + a2 + + an < a1 + a1 + + n 1 a1 = a1 < 2a1 , 即 1 2 2 1 2 S n < 2a1 . an 3 2 an <
2
3 2 【 范例 3 】 由坐标原点 O 向曲线 y = x 3ax + bx ( a ≠
  0) 引切线,切于 O 以外的点
P1 ( x1 , y1 ) ,再由 P1 引此曲线的切线,切于 P1 以外的点 P2 ( x 2 , y 2 ),如此进行下去,得到 点列{ Pn ( x n , y n }}. 求:(Ⅰ) x n 与x n 1 ( n ≥
  2) 的关系式; (Ⅱ)数列 {x n } 的通项公式; (Ⅲ)(理)当 n → ∞ 时, Pn 的极限位置的坐 解析 (Ⅰ)由题得 f ′( x ) = 3 x 2 6ax + b 过点 P
  1( x1 , y1 ) 的切线为 l1 : y y1 = f ′( x1 )( x x1 )( x1 ≠
  0),
∵ l1 过原点 ∴ ( x13 3ax12 + bx1 ) = ( x1 )(3 x12 6ax1 + b ), 得x1 =
又过点 Pn( xn , yn ) 的 l n : y yn = f ′( xn )( x xn ) 因为 l n 过点 Pn-
  1( xn1 , yn1 ) 整理得 [ x
2 n 1 2 n
3 a. 2
∴ yn1 yn = f ′( xn )( xn1 xn )
+ x n 1 x n 2 x 3a ( x n 1 x n )]( x n 1 x n ) =
  0.
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∴ ( xn1 xn )2 ( xn1 + 2 xn 3a ) = 0,由xn ≠ xn 1得xn1 + 2 xn 3a =
  0. ∴ xn = 1 3 xn1 + a ( n ≥
  2). 2 2
1 (Ⅱ)由(I)得 xn a = ( xn1 a ). 2
所以数列{xn-a}是以
a 1 公比为 的等比数列 2 2 1 a 1 n 1 ∴ x n a = ( ) ∴ x n = [1 ( ) n ]a. 2 2 2
(Ⅲ)∵ lim xn = lim[1 ( 1 ) n ]a = a, ∴ lim y n = f (a) = a 3 3a 3 + ab = ab 2a 3 . n →∞ n →∞ n →∞ 2 3 ∴ 点Pn 的极限位置为( a, ab 2a ). (
【点睛】注意曲线的切线方程 l1 : y y1 = f ′( x1 )( x x1 ) 的应用,从而得出递推式.求数列的 点睛】 通项公式是数列的基本问题,一般有三种类型:(
  1)已知数列是等差或等比数列,求通项, 破解方法:公式法或待定系数法;(
  2)已知 Sn,求通项,破解方法:利用 Sn-Sn-1= an,但 要注意分类讨论,本例的求解中检验必不可少,值得重视;(
  3)已知数列的递推公式,求 通项,破解方法:猜想证明法或构造法。 【变式】已知函数 f (x)= x + x ,数列|x n |(x n >
  0)的第一项 x n =
  1,以后各项按如下 变式】
3 2
方式取定:曲线 x=f (x)在 ( x n +1 , f ( x n +1 )) 处的切线与经过(
  0,
  0)和(x n ,f (x n ))两点 的直线平行(如图). 求证:当 n ∈ N 时,(Ⅰ) x n + x n = 3 x n +1 + 2 x n +1 ; (Ⅱ) ( )
*
2
2
1 2
n 1
1 ≤ xn ≤ ( ) n 2 . 2
解、 (I ) 证明:因为 f ' ( x ) = 3 x 2 + 2 x, 所以曲线 y = f ( x) 在 ( xn +1 , f ( xn +1 )) 处的切线斜率 kn +1 = 3 x n+1 + 2 xn +
  1.
2
即 (0,
  0) 和 ( xn , f ( xn )) 两点的直线斜率是 xn + xn , 以 xn + xn = 3 xn +1 + 2 xn +1 .
2 2 2
(II)因为函数 h( x ) = x 2 + x ,当 x > 0 时单调递增, 而 xn + xn = 3 xn +1 + 2 xn +1 ≤ 4 xn +1 + 2 xn +1 = (2 xn +1 ) + 2 xn +1 ,
2 2 2 2
所以 xn ≤ 2 xn +1 ,即
2
xn +1 xn
2

1 2
,
因此 xn =
xn
2
xn 1 xn 2

xn 1

x2
1 ≥ ( ) n 1 . x1 2 ≤ 1 2 .
又因为 xn + xn ≥ 2( x n+1 + xn +1 ), 因为 y1 = x1 + x1 = 2,
2
令 yn = xn + xn ,
yn +1 yn
1 n 1 1 n2 所以 yn ≤ ( ) y1 = ( ) . 2 2
n2
因此 xn ≤ xn + xn ≤ ( )
2
1 2
,
故( )
1 2
n 1
1 ≤ xn ≤ ( ) n 2 . 2
 

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