2010年北大附属中学高三数学教学案4



届高三数学教案: 北大附属中学 2010 届高三数学教案: 第四讲?? ??基本函数 第四讲??基本函数
知识清单:
  1.一元一次函数: y = ax + b( a ≠
  0) ,当 a > 0 时,是增函数;当 a < 0 时,是减函数;
  2.一元二次函数: 一般式: y = ax2 + bx+ c(a ≠
  0) ;对称轴方程是 x = ? 两点式: y = a ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ;对称轴方程是 顶点式: y = a ( x ? k ) 2 + h ;对称轴方程是 ⑴一元二次函数的单调性: 当 a > 0 时: 为增函数; 当 a < 0 时: 为增函数;
2 b ;顶点为 (? b , 4ac ? b ) ; 2a 2a 4a
;与 x 轴的交点为 ;顶点为 ;

为减函数; 为减函数;
⑵二次函数求最值问题:首先要采用配方法,化为 y = a ( x ? k ) 2 + h 的形式, (Ⅰ)、若顶点的横坐标在给定的区间上,则当 a > 0 时:在顶点处取得最小值,最大值在距 离对称轴较远的端点处取得;当 a < 0 时:在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远 的端点处取得; (Ⅱ)若顶点的横坐标不在给定的区间上,则当 a > 0 时:最小值在距离对称轴较近的端点处 取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得;当 a < 0 时:最大值在距离对称轴较近的端 点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得; ⑶二次方程实数根的分布问题: 设实系数一元二次方程 f ( x ) = ax 2 + bx + c = 0 的两根为
x1 , x 2 ;则:
根的情况
x1 ≥ x2 > k
在区间 (k ,+∞) 上有两 根
x1 ≤ x2 < k
在区间 ( ?∞, k ) 上有两 根
?Δ ≥ 0 ? b ? < k ?? ? 2a ? a ? f ( k ) >
  0。 ?
x1 < k < x 2
在区间 (k ,+∞) 或 ( ?∞, k ) 上有 一根
等价命题
充要条件
?Δ ≥ 0 ? b ? > k ?? ? 2a ? a ? f ( k ) >
  0。 ?
a?f(k)<0
另外:①二次方程 f(x)=0 的一根小于 p,另一根大于 q(p<q) ? ?
?a ? f ( p) < 0 ?a ? f (q ) <
  0。
②二次方程 f(x)=0 在区间(p,q)内只有一根 ? f(p)?f(q)<
  0,或 ?
? f ( p) = 0 (检验)或 ?a ? f ( q ) > 0
? f (q ) = 0 (检验) 。 ? ?a ? f ( p ) > 0
③若在闭区间 [ m, n] 讨论方程 f ( x ) = 0 有实数解的情况, 可先利用在开区间 (m, n) 上实根 分布的情况,得出结果,在令 x = n 和 x = m 检查端点的情况。 注:常见的初等函数一次函数,二次函数,反比例函数,指数函数,对数函数。 特别指出,分段函数也是重要的函数模型。
  3.指数函数: y = a x ( a > 0, a ≠ 1 ) ,定义域 R,值域为( 0,+∞ ).⑴①当 a > 1 ,指数函数:
y = a x 在定义域上为增函数;②当 0 <
a < 1 ,指数函数: y = a x 在定义域上为减函数.⑵当
a > 1 时, y = a x 的 a 值越大,越靠近 y 轴;当 0 < a < 1 时,则相反.

  4.对数函数:如果 a ( a > 0, a ≠ 1 )的 b 次幂等于 N ,就是 a b
=N
,数 b 就叫做以 a 为
底的 N 的对数,记作 log a N = b ( a > 0, a ≠ 1 ,负数和零没有对数) ;其中 a 叫底数,
N 叫真数. ⑴对数运算:
①loga (M ? N) = loga M + loga N M = loga M ? loga N N ③loga M n = n loga M ②loga 1 ④loga n M = loga M ? n loga N ⑤a =N ⑥换底公式: a N = log logb N logb a
⑦推论: a b ? logb c ? logc a =1 log ? loga1 a2 ? loga2 a3 ?...? logan?1 an = loga1 an (以上M > 0, N > 0, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, c > 0, c ≠ 1, a1, a2 ,..., an > 0且 ≠
  1)
例如: log a x 2 ≠ 2 log a x(∵ 2 log a x 中 x>0 而 log a x 2 中 x∈R).
⑵ y = a x ( a > 0, a ≠ 1 )与 y = log a x 互为反函数. 当 a > 1 时, y = log a x 的 a 值越大,越靠近 x 轴;当 0 < a < 1 时,则相反.
  5.幂函数 (
  1)幂函数的定义: 。 (
  2)幂函数的性质: 上都有意义,并且图像都过点 ①所有幂函数在 ②如果 a > 0 ,则幂函数图像过原点,并且在区间 ③如果 a < 0 ,则幂函数图像在 ( 0,+∞ ) 上是 趋向于原点时,图像在 y 轴右方无限地逼近 右方无限地逼近 。 ④当 a 为奇数时,幂函数为
a
。 上为增函数。 。在第一象限内,当 x 从右边
。当 x 趋向于 +∞ 时,图像在 y 轴 ,
,当 a 为偶数时,幂函数为

  3)幂函数 y = x ,x ∈ [ 0 , +∞ ) ,当 a > 1 时,若 0 < x < 1, 其图像在直线 y = x 的下方,若
x > 1 ,其图像在直线 y = x 的上方;当 0 < a < 1 时,若 0 < x < 1, 其图像在直线 y = x 的上
方,当 a > 1 时,若 x > 1 其图像在直线 y = x 的下方。 课前预习
  1. 当
  0≤x≤1 时,函数 y=ax+a-1 的值有正值也有负值,则实数 a 的取值范围是( (A)a<

1 2
(B)a>1
(C)a<
1 或 a>1 2
(D)
1 <a<1 2

  2.已知函数 f ( x) = ax 2 + ( a 3 ? a ) x + 1 在 ( ?∞ ,?1] 上递增,则 a 的取值范围是( ) (A) a ≤ 3 (C) 0 < a ≤ 3 (B) ? 3 ≤ a ≤ 3 (D) ? 3 ≤ a < 0

  3. 已知二次函数 f ( x) = ax 2 + (a 2 + b) x + c 的图像开口向上,且 f (
  0) = 1 , f (
  1) = 0 ,则 实数 b 取值范围是( (A) ( ?∞,? ] ) (B) [?
3 4
3 ,
  0) 4
(C) [0,+∞ )
(D) ( ?∞,?
  1)
x>0 ?1, ? x = 0 ,则方程 x + 1 = ( 2 x ?
  1) f ( x ) 的解为
  4.设函数 f ( x) = ?0, ?? 1, x<0 ?

  5.函数 y = a x ? 2 + 1 ( a > 0 ,且 a ≠ 1 )的图象必经过点( (A)(
  0,
  1) (B)(
  1,
  1) (C) (
  2,
  0) )
(D) (
  2,
  2)

  6. 3 log 7 2 ? log 7 9 + 2 log 7 (
3 2 2
)

  7.设 x, y, z ∈ (0,+∞ ) 且 3 = 4 = 6 ,
x y z
⑴ 求证:
1 1 1 + = ;⑵比较 3 x,4 y,6 z 的大小. x 2y z

  8.已知 f ( x ) = 1 + log x 3 , g ( x) = 2 log x 2 , 试比较 f ( x)和g ( x) 的大小。

  9.求函数 y = log 1 ( x ? 3x ?
  18) 的单调减区间,并用单调定义给予证明。
2 2

  10. 求下列函数的定义域、值域: ①y=
2 ?x
2
?1
?
1 2 ; ② y = log 1 (? x + 4 x +
  5) 4 3
2

  11. 已知函数 y = x n
? 2 n ?3
(n ∈ Z) 的图象与两坐标轴都无公共点,且其图象关于 y 轴对称,
求 n 的值,并画出函数的图象. 典型例题
  1、解析式、待定系数法 、解析式、 EG
  1.若 f ( x ) = x + bx + c ,且 f (
  1) = 0 , f (
  3) = 0 ,求 f ( ?
  1) 的值.
2
变式
  1:若二次函数 f ( x ) = ax + bx + c 的图像的顶点坐标为 ( 2, ?
  1) ,与 y 轴的交点坐标 :
2
为(0,
  11),则
A. a = 1, b = ?4, c = ?11 C. a = 3, b = ?6, c = 11
2
B. a = 3, b = 12, c = 11 D. a = 3, b = ?12, c = 11
变式
  2:若 f ( x ) = ? x + ( b + 2 ) x + 3, x ∈ [b, c] 的图像 x=1 对称,则 c=. : 变式
  3: 若二次函数 f ( x ) = ax + bx + c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 A ( x1 , 0 ) 、 :
2
B ( x2 , 0 ) ,且 x12 + x2 2 =
几个单位得到?
  2、图像特征 、
26 2 ,试问该二次函数的图像由 f ( x ) = ?3 ( x ?
  1) 的图像向上平移 9
EG
  2:将函数 f ( x ) = ?3x ? 6 x + 1 配方,确定其对称轴,顶点坐标,求出它的单调区间及
2
最大值或最小值,并画出它的图像. 变 式 1 : 已 知 二 次 函 数 f ( x ) = ax + bx + c , 如 果 f ( x1 ) = f ( x2 ) ( 其 中 x1 ≠ x2 ) , 则
2
?x +x ? f ? 1 2 ?= ? 2 ?
A. ?
b 2a
2
B. ?
b a
C. c
D.
4ac ? b 2 4a
变式
  2:函数 f ( x ) = x + px + q 对任意的 x 均有 f (1 + x ) = f (1 ? x ) ,那么 :
f ( 0 ) 、 f ( ?
  1) 、 f (
  1) 的大小关系是
A. f (
  1) < f ( ?
  1) < f ( 0 ) B. f ( 0 ) < f ( ?
  1) < f (
  1) C. f (
  1) < f ( 0 ) < f ( ?
  1) D. f ( ?
  1) < f ( 0 ) < f (
  1)
2
y
O
x
变式
  3:已知函数 f ( x ) = ax + bx + c 的图像如右图所示,请至少写出三个与系数 a、b、c : 有关的正确命题.
  3.单调性 . EG
  3:已知函数 f ( x ) = x ? 2 x , g ( x ) = x ? 2 x ( x ∈ [2, 4]) .
2 2
(
  1)求 f ( x ) , g ( x ) 的单调区间;(
  2) 求 f ( x ) , g ( x ) 的最小值. 变式
  1:已知函数 f ( x ) = x + 4ax + 2 在区间 ( ?∞, 6 ) 内单调递减,则 a 的取值范围是 :
2
A. a ≥ 3
B. a ≤ 3
C. a < ?3
D. a ≤ ?3
1 2 已知函数 f ( x ) = x ? ( a ?
  1) x + 5 在区间( ,
  1)上为增函数, 那么 f ( 2 ) 的取值范围 变式
  2: : 2 是. 变式
  3:已知函数 f ( x ) = ? x + kx 在 [2, 4] 上是单调函数,求实数 k 的取值范围. :
2

  4.最值 . EG4 已知函数 f ( x ) = x ? 2 x , g ( x ) = x ? 2 x ( x ∈ [2, 4]) .
2 2
(
  1)求 f ( x ) , g ( x ) 的单调区间;(
  2) 求 f ( x ) , g ( x ) 的最小值. 变式
  1:已知函数 f ( x ) = x ? 2 x + 3 在区间[0,m]上有最大值
  3,最小值
  2,则 m 的取值范 :
2
围是 A. [1, +∞ ) B. [ 0, 2] C. [1, 2] D. ( ?∞, 2 )
2 变式
  2:若函数 y = 3 ? x + 4 的最大值为 M,最小值为 m,则 M + m 的值等于. :
变式
  3:已知函数 f ( x ) = 4 x ? 4ax + a ? 2a + 2 在区间[0,2]上的最小值为
  3,求 a 的值. :
2 2

  5.奇偶性 . 当 画出函数 f ( x ) EG
  5: 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数, x ≥0 时,f ( x ) = x (1 + x ) . 的图像,并求出函数的解析式.
2 2 变式
  1:若函数 f ( x ) = ( m ?
  1) x + m ? 1 x + 1 是偶函数,则在区间 ( ?∞, 0] 上 f ( x ) 是 :
(
)
A.增函数
B.减函数
2
C.常数
D.可能是增函数,也可能是常数
变式
  2:若函数 f ( x ) = ax + bx + 3a + b ( a ? 1 ≤ x ≤ 2a ) 是偶函数,则点 ( a, b ) 的坐标是 : . 变式
  3:设 a 为实数,函数 f ( x) = x + | x ? a | +1 , x ∈ R . :
2
(I)讨论 f (x ) 的奇偶性; (II)求 f (x ) 的最小值.
? x 2 + 4 x + 3, ?3 ≤ x < 0 ?
  6.图像变换 EG
  6、已知 f ( x) = ??3 x + 3, 0 ≤ x <
  1. . ? 2 ?? x + 6 x ? 5,1 ≤ x ≤ 6
(
  1)画出函数的图象;(
  2)求函数的单调区间;(
  3)求函数的最大值和最小值. 变式
  1:指出函数 y = ? x + 2 x + 3 的单调区间. :
2 2 变式
  2:已知函数 f ( x) =| x ? 2ax + b | ( x ∈ R ) . :
给下列命题:① f (x ) 必是偶函数; ② 当 f (
  0) = f (
  2) 时, f (x ) 的图像必关于直线 x=1 对称; ③ 若 a 2 ? b ≤ 0 ,则 f (x ) 在区间[a,+∞ ) 上是增函数; ④ f (x ) 有最大值 | a 2 ? b | . 其中正确的序号是.③ 变式
  3:设函数 f ( x ) = x | x | +bx + c, 给出下列 4 个命题: : ①当 c=0 时, y = f (x ) 是奇函数; ②当 b=
  0,c>0 时,方程 f ( x ) = 0 只有一个实根; ③ y = f (x ) 的图象关于点(
  0,c)对称;
④方程 f ( x ) = 0 至多有两个实根. 上述命题中正确的序号为
  7.值域 .
2

EG
  7:求二次函数 f ( x) = ?2 x + 6 x 在下列定义域上的值域: (
  1)定义域为 x ∈ Z 0 ≤ x ≤ 3 ;(
  2) 定义域为 [ ?2,1] . 变式
  1:函数 f ( x) = ?2 x + 6 x ( ?2 < x < 2 ) 的值域是 :
2
{
}
A. ? ?20,
? ?
3 2? ? 2 ?
B. ( ?20, 4 )
C. ? ?20, ? 2
? ?
9? ?
D. ? ?20, ?
? ?
9? 2?
变式
  2:函数 y=cos2x+sinx 的值域是. : 2 ,满足条件 f (1 + x) = f (1 变式
  3:已知二次函数 f (x) = a x + bx(a、b 为常数,且 a ≠
  0) : -x),且方程 f (x) = x 有等根. (
  1)求 f (x) 的解析式; (
  2)是否存在实数 m、n(m < n) ,使 f (x) 的定义域和值域分别为 [m,n] 和 [3m,3n],如果 存在,求出 m、n 的值,如果不存在,说明理由.
  8.恒成立问题 . EG
  8:当 a , b, c 具有什么关系时,二次函数 f ( x ) = ax + bx + c 的函数值恒大于零?恒小于
2
零? 变式
  1:已知函数 f (x) = lg (a x 2 + 2x +
  1) . : (I)若函数 f (x) 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; (II)若函数 f (x) 的值域为 R,求实数 a 的取值范围. 变式
  2:已知函数 f ( x) = x 2 + ax + 3 ? a ,若 x ∈ [ ?2,2] 时,有 f ( x ) ≥ 2 恒成立,求 a 的取 : 值范围. 变式
  3:若 f (x) = x 2 + bx + c,不论 α、β 为何实数,恒有 f (sin α )≥
  0,f (2 + cos β )≤
  0. : (I) 求证:b + c = -
  1; (II) 求证: c≥
  3; (III) 若函数 f (sin α ) 的最大值为
  8,求 b、c 的值.
  9.根与系数关系 . 右图是二次函数 f ( x ) = ax + bx + c 的图像,它与 x 轴交于点 ( x1 , 0 ) 和 ( x2 , 0 ) ,试确
2
定 a , b, c 以及 x1 x2 , x1 + x2 的符号.
2 变式
  1:二次函数 y = ax + b 与一次函数 y = ax + b ( a > b ) 在同一个直角 :
y
坐标系的图像为
x1
1
x
O
1
x2
y
y
O
y x
O
y x
O A. 变 式
x
O B. 2 : 直
x
C. 线 D. 与 抛 物 线
y = mx ? 3
C1 : y = x 2 + 5mx ? 4m, C 2 : y = x 2 + (2m ?
  1) x + m2 ? 3,
C3 : y = x 2 + 3mx ? 2m ? 3 中至少有一条相交,则 m 的取值范围是.
变式
  3:对于函数 f (x),若存在 x0 ∈ R,使 f (x
  0) = x0 成立,则称 x0 为 f (x) 的不动点.如 : 果函数 f (x) = a x 2 + bx +
  1(a >
  0)有两个相异的不动点 x
  1、x
  2. (I)若 x1 < 1 < x
  2,且 f (x) 的图象关于直线 x = m 对称,求证 m > (II)若 | x1 | < 2 且 | x
  1-x2 | =
  2,求 b 的取值范围.
  10.应用 . EG:绿缘商店每月按出厂价每瓶 3 元购进一种饮料.根据以前的统计数据,若零售价定为 每瓶 4 元,每月可销售 400 瓶;若每瓶售价每降低
  0.05 元,则可多销售 40 瓶.在每月的进 货量当月销售
 

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担任现职务以来个人政治思想和业务工作总结

  担任现职务以来个人政治思想和业务工作总结光阴似箭、岁月如梭,转眼之间,踏上工作岗位已是第 29 个年 头。我于××年××月在××中学高中毕业,我成为了一名光荣的中 学教师,我以“一切为了学生,为了一切学生,为了学生一切”作为 自身教育理念,扎实工作,勤奋学习,革故鼎新,与时俱进;视教师 为渡工, 为学生引航开渡; 视教师为春蚕, 无私奉献; 视教师为红烛, 燃烧自己照亮别人。文化大革命出来的高中生去教初中的物理,我深 感知识贫乏。1988 年,恢复专业技术职称评审工作后,我被评为中 学物理三级教 ...

打造高分作文揭秘\\_2009年高考考场作文高分获取三部曲

  打造高分作文揭秘: 打造高分作文揭秘:2009年高考考场作文高分获取三部曲 年高考考场作文高分获取三部曲一 、考点描述:符合题意 “符合题意”指能符合题目中所列的各项要求。二.高考作文的基本类型:(1)命题作文 (2)话题作文 (3)题意作文 (4)材料作文三.高考作文的写作要领:第一: 审题与立意口诀: 抱着话题(题目)打滚 第二: 定体与构篇口诀: 选择最擅长的文体 第三: 突破与升格口诀: 要有若干亮点 ●第一步 审题,确定写作的重点与范围。 (一) 话题作文的审题: 话题作文一般由“引入 ...

四川省2001年普通高校职教师资高职班对口招生统一考试英语试卷

  四川省 2001 年普通高校职教师资高职班对口招生统一考试英语试卷I、单项填空(共 25 小题,每小题 1 分:满分 25 分) A) 从 A、B、C、D 中找出其划线部分与所给单词划线部分读音相同的选项。 例:have 答案是 C。 ( ( ( ( ( )1.umbrella )2.couple )3.laugh )4.thirsty )5.supply A.usual A.trouble A.height A.together A.system B.hurry B.ground B.neig ...