2011届高考数学文科考点专题复习16



? ●基础知识 ? 一、等差、等比数列的综合问题 等差、 等比 ? (
  1)若{an}是等差数列,则数列 an}(c>
  0, 若 是等差数列, 是等差数列 则数列{c > , c≠
  1)为 为 ? 数列; 数列; 等差 ? (
  2)若{an}为正项等比数列,则数列 为正项等比数列, 若 为正项等比数列 {logc 数列; > , 为 数列; 常数列 an}(c>
  0,c≠
  1)为 ? (
  3)若{an}既是等差数列又是等比数列, 既是等差数列又是等比数列, 若 既是等差数列又是等比数列 则数列{an}为 则数列 为 .
? 二、与银行利率相关的几类模型 ?
  1.银行储蓄单利公式 . ? 利息按单利计算,本金为a元,每期利率 利息按单利计算,本金为 元 a+xar=a(
  1+xr) + = + 为r,存期为 ,则本利和 ,存期为x,则本利和y = . ?
  2.银行储蓄复利公式 x . a(
  1+r) + ? 按复利计算利息的一种储蓄,本金为 元, 按复利计算利息的一种储蓄,本金为a元 每期利率为r,存期为x,则本利和y 每期利率为 ,存期为 ,则本利和 = .x N(
  1+p) + ?
  3.产值模型 . ? 原来产值的基础数为 ,平均增长率为 , 原来产值的基础数为N,平均增长率为p,
?
  4.分期付款模型 . ? a为贷款总额,r为月利率,b为月等额本 为贷款总额, 为月利率 为贷款总额 为月利率, 为月等额本 息还款数, 为贷款月数 为贷款月数, 息还款数,n为贷款月数,则b= =
? ●易错知识 ? 一、审题错误. 审题错误. ?
  1.已知{an}是递增数列,且对任意 ∈N*, .已知 是递增数列, 是递增数列 且对任意x∈ 都有a 恒成立, 都有 n=n
  2+λn恒成立,则实数 的取值 恒成立 则实数λ的取值 ( ) 范围是 ? A.(- ,+ B.(
  0,+ ,+∞) . - ,+∞) . ,+ ? C.[-
  2,+ ∞) D.(-
  3,+ ,+∞) . - ,+ . - ,+ ? 答案:D 答案:
? 解题思路:∵{an}是递增数列,∴an+
  1> 解题思路: 是递增数列, 是递增数列 + an, ? 即(n+
  1)
  2+λ(n+
  1)>n
  2+λn.∴λ>- >-2n + + > ∴ >- 对于n∈ 恒成立, -1对于 ∈N*恒成立, 对于 ? 而-2n-1在n=1时取得最大值-
  3, 时取得最大值- , - 在 = 时取得最大值 >-
  3,故选D. ∴λ>- ,故选 >- ? 错因分析:数列是特殊的函数,可以用 错因分析:数列是特殊的函数, 动态函数的观点研究数列, 动态函数的观点研究数列,但必须时刻 注意其“特殊” 定义域为n∈ 注意其“特殊”性,即:定义域为 ∈N*. 本题常出现如下错误: 本题常出现如下错误:
? 错解:an=n
  2+λn=(n+ 错解: = + ,对称 时为递增数列, 轴n=- 当n≥1时为递增数列,则 =- 时为递增数列 从而得λ≥- 故选 故选C. 从而得 -
  2.故选
? 二、实际应用错误. 实际应用错误. ?
  2.假设某市 .假设某市2004年新建住房 年新建住房400万平方 年新建住房 万平方 其中有250万平方米是中低价房,预 万平方米是中低价房, 米,其中有 万平方米是中低价房 计在今后的若干年内, 计在今后的若干年内,该市每年新建住 房面积平均比上一年增长8\\%.另外,每年 另外, 房面积平均比上一年增长 另外 新建住房中, 新建住房中,中低价房的面积均比上一 年增加50万平方米 那么,到另一年底, 万平方米, 年增加 万平方米,那么,到另一年底, ? (
  1)该市历年所建中低价房的累计面积 以 该市历年所建中低价房的累计面积(以 该市历年所建中低价房的累计面积 2004年为累计的第一年 将首次不少于 年为累计的第一年)将首次不少于 年为累计的第一年 4750万平方米? 万平方米? 万平方米 ? (
  2)当年建造的中低价房的面积占该年建 当年建造的中低价房的面积占该年建 造住房面积的比例首次大于85\\%? 造住房面积的比例首次大于
? 解析:(
  1)设中低价房面积形成数列 n}, 解析: 设中低价房面积形成数列 设中低价房面积形成数列{a , 由题意可知{a 是等差数列 其中a 是等差数列, 由题意可知 n}是等差数列,其中
  1= 2
  50,d=
  50,则Sn=250n+ , = , + ? ×
  50=25n
  2+225n. = ? 令25n
  2+225n≥47
  50, , ? 即n
  2+9n-1
  90≥
  0,而n是正整数, 是正整数, - , 是正整数 ∴n≥
  10. ? ∴到2013年底,该市历年所建中低价房 年底, 年底 的累计面积将首次不少于4750万平方 的累计面积将首次不少于 万平方 米.
? (
  2)设新建住房面积形成数列 n},由题 设新建住房面积形成数列{b , 设新建住房面积形成数列 意可知{b 是等比数列 其中b 是等比数列, , 意可知 n}是等比数列,其中
  1=4
  00, q=
  1。
  08, = , - ? 则bn=4
  00×(
  1.
  08)n-
  1, × ? 由题意可知 n>
  0.85bn, 由题意可知a - ? 有2
  50+(n-
  1)×
  50>4
  00×(
  1.
  08)n- + - × > ×
  1×
  0.
  85. ? 由计算器解得满足上述不等式的最小正 整数n=
  6.∴到2009年底,当年建造的中 整数 = ∴ 年底, 年底 低价房的面积占该年建造住房面积的比 例首次大于85\\%. 例首次大于
? ●回归教材 ?
  1.(教材 1146题改编 夏季高山上气温从 . 教材P 题改编)夏季高山上气温从 教材 题改编 山脚起每升高100米降低 ℃,已知山 米降低
  0.
  7℃ 山脚起每升高 米降低 顶气温是
  14.
  1℃,山脚的气温是 ℃, 顶气温是 ℃ 山脚的气温是
  26℃ 那么此山相对于山脚的高度是 ( ) ? A.1500米 B.1600米 C.1700米 . 米 . 米 . 米 D.1800米 . 米 ? 解析:因a
  1=
  26℃,an=
  14.
  1℃,d=- 解析: ℃ ℃ =-
  0.
  7℃. ℃ ? ∴an=a
  1+(n-
  1)d,∴
  14.
  1=
  26+(n- - , = + -
  1)×(-
  0.
  7). ×- .
?
  2.(教材 1253题改编 某种细菌在培养过 . 教材 教材P 题改编)某种细菌在培养过 题改编 程中, 分钟分裂一次(一个分裂成两 程中,每20分钟分裂一次 一个分裂成两 分钟分裂一次 经过3小时 个)经过 小时,这种细菌由 个可繁殖成 经过 小时,这种细菌由1个可繁殖成 ( ) ? A.511个 B.512个 . 个 . 个 ? C.1023个 D.1024个 . 个 . 个 ? 解析:a
  10=a1?q
  9=
  29=512(个). 解析: 个. ? 答案:B 答案:
?
  3.等比数列{an}的公比为 ,则“q>
  1” .等比数列 的公比为q, 的公比为 > ” 对于任意自然数n,都有a + 是“对于任意自然数 ,都有 n+
  1>an” ( ) 的 ? A.充分不必要条件 . ? B.必要不充分条件 . ? C.充要条件 . ? D.既不充分又不必要条件 . ? 解析:当a
  1<0时,条件与结论均不能由 解析: 时 一方推出另一方. 一方推出另一方. ? 答案:D 答案:
?
  4.设等比数列{an}的公比为 ,前n项和 .设等比数列 的公比为q, 的公比为 项和 为Sn,若Sn+
  1,Sn,Sn+2成等差数列, + + 成等差数列, ( ) 则公比 ? A.q=- =-2 B.q=1 . =- . = ? C.q=- 或q=1 =-2或 = D.q=2或q . =- . = 或 =-1 =- ? 解析:由题意可得 n=Sn+
  1+Sn+
  2,当 解析:由题意可得2S + + q≠1时, ≠ 时 ? q
  2, 即
  2=q+ = +
?
  5.(教材改编题 、B两个工厂 . 教材改编题 教材改编题)A、 两个工厂 两个工厂2009年元 年元 月份的产值相等, 厂的产值逐月增加且 月份的产值相等,A厂的产值逐月增加且 每月增加的产值相同, 厂产值也逐月增 每月增加的产值相同,B厂产值也逐月增 加且月增长率相同, 加且月增长率相同,而2010年元月份两 年元月份两 厂的产值又相等, 厂的产值又相等,则2009年7月份产值高 年 月份产值高 的工厂是. 的工厂是.
? 解析:设两工厂的月产值从2009年元月 解析:设两工厂的月产值从 年元月 起依次组成数列{a , 起依次组成数列 n},{bn}, , ? 由题意知 n}成等差数列,{bn}成等比数 由题意知{a 成等差数列 成等差数列, 成等比数 列,并且a
  1=b
  1,a
  13=b
  13.由于 n}成等 并且 由于{a 成等 由于 差数列, 差数列,
? 即2009年7月份 厂产值高于 厂产值. 月份A厂产值高于 厂产值. 年 月份 厂产值高于B厂产值
? 【例
  1】 (2006?辽宁高考 在等比数列 辽宁高考)在等比数列 】 辽宁高考 {an}中,a
  1=
  2,前n项和为 n,若数列 项和为S 中 , 项和为 {an+1}也是等比数列,则Sn等于 也是等比数列, 也是等比数列 ( ) ? A.2n+
  1-1 B.3n . + . ? C.2n D.3n-1 . . ? [命题意图 本题主要考查等比数列的概 命题意图] 命题意图 求和公式等综合应用. 念、求和公式等综合应用.
? [解析 解法一:由{an}为等比数列可得 解析] 解法一: 解析 为等比数列可得 an+
  1=an?q,an+
  2=an?q
  2, , + + ? 由{an+1}为等比数列可得 n+
  1+
  1)
  2= 为等比数列可得(a 为等比数列可得 + (an+
  1)(an+
  2+
  1), , + ? 故(an?q+
  1)
  2=(an+
  1)(an?q
  2+
  1) + ? 化简上式可得
  2-2q+
  1=
  0,解得 =1 化简上式可得q + = ,解得q= ? 故an为常数列,且an=a
  1=
  2, 为常数列, , ? 故Sn=n?a
  1=2n,故选 ,故选C.
? ? ? ? ? ?
解法二:设等比数列 的公比为q, 解法二:设等比数列{an}的公比为 , 的公比为 则有a 则有
  2=2q且a
  3=2q2 且 令an+
  1=bn = 则有b 则有
  1=
  3,b
  2=2q+
  1,b
  3=2q
  2+1 , + , 数列{b 为等比数列 为等比数列, 又∵数列 n}为等比数列, ∴(2q+
  1)
  2=3?(2q
  2+
  1), + , ? 解得 =
  1,以下同解法一. 解得q= ,以下同解法一.
? 解法三:运用特殊与一般的数学思想, 解法三:运用特殊与一般的数学思想, ,显然符合题意,故数列{a 令an=
  2,显然符合题意,故数列 n+1} 也符合题意, 可见, 也符合题意,故Sn=na
  1=2n.可见,在 可见 数列问题中, 数列问题中,常数列往往可以作为一种 典型的模型予以考虑. 典型的模型予以考虑. ? [答案 C 答案] 答案
? (2009?浙江嘉兴一中 各项都是正数的等 浙江嘉兴一中)各项都是正数的等 浙江嘉兴一中 比数列{a 中 成等差数列, 比数列 n}中,a
  2, a
  3,a1成等差数列, ) 则 的值为 (
? 答案:B 答案: ? 解析:由题意可知:a
  3=a
  1+a
  2, 解析:由题意可知: ? ∴q
  2=
  1+q,解得: + ,解得: (舍去 ,所以选 舍去), 舍去 所以选B.
? 【例
  2】 银行按规定,每经过一定的时 】 银行按规定, 间结算存(贷 款的利息一次 款的利息一次, 间结算存 贷)款的利息一次,结算后立即 将利息并入本金, 将利息并入本金,这种计算利息的方法 叫复利.现在某企业进行技术改造, 叫复利.现在某企业进行技术改造,有 两种方案:甲方案 一次性贷款 万元, 一次性贷款10万元 两种方案:甲方案??一次性贷款 万元, 第一年便可获利1万元, 第一年便可获利 万元,以后每年比前一 万元 年增加30\\%的利润;乙方案??每年贷款 的利润;乙方案 每年贷款 每年贷款1 年增加 的利润 万元,第一年可获利 万元 万元, 万元,第一年可获利1万元,以后每年比 前一年多获利5千元. 前一年多获利 千元.两种方案的使用期 千元
? [思路点拨 甲方案中,每年的获利组成 思路点拨] 甲方案中, 思路点拨 一等比数列, 一等比数列,乙方案中每年的获利组成 一等差数列,分别计算出10年的净获利 一等差数列,分别计算出 年的净获利 之和作比较即可. 之和作比较即可.
? [解析 甲方案 年获利是每年获利数组 解析] 甲方案10年获利是每年获利数组 解析 成的数列的前n项的和 项的和
  1+ + 成的数列的前 项的和 +(
  1+30\\%)+(1 + +30\\%)
  2+…+(
  1+30\\%)9 + ? 万元). =
  42.62(万元 . 万元 ? 到期时银行贷款的本息为 ? 10(
  1+10\\%)
  10=
  10×
  2.5
  94=
  25.94(万 + = × = 万 元), , ? ∴甲方案扣除贷款本息后净获利 ?
  42.
  62-
  25.
  94≈
  16.7(万元 ; 万元); . - ≈ 万元
? 乙方案逐年获利组成一个等差数列,10 乙方案逐年获利组成一个等差数列, 年共获利 ?
  1+(
  1+
  0.
  5)+(
  1+
  2×
  0.
  5)+…+(
  1+ + + + + × + +
  9×
  0.
  5) ×
? 而贷款本息为 ?
  1.
  1×[
  1+(
  1+10\\%)+…+(
  1+10\\%)9] . × + + + +
? ∴乙方案扣除贷款本息后,净获利为 乙方案扣除贷款本息后, ?
  32.
  50-
  17.
  53≈
  15.0(万元 . 万元). . - ≈ 万元 ? 比较可知,甲方案获利多于乙方案获 比较可知, 利. ? 即甲方案比乙方案获利多. 即甲方案比乙方案获利多.
? 某林场有荒山 某林场有荒山3250亩,从2009年1月开 亩 年 月开 始在该荒山上植树造林, 始在该荒山上植树造林,且保证
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