2011年高三数学精品复习导学案:三角函数



版高三数学精品复习学案 精品复习学案: 2011 版高三数学精品复习学案: 三角函数
【高考目标定位】 高考目标定位】
一、任意角和弧度制及任意角的三角函数
  1、考纲点击 、 (
  1)了解任意角的概念; (
  2)了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化; (
  3)理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义; (
  4)理解同角三角函数的基本关系式:
sin 2 x + cos 2 x = 1,

  2、热点提示 、
sin x = tan x cos x

  1)三角函数定义的理解和运用,如已知角α的终边上一点求相关问题或三角函数值 的符号的选取等。 (
  2)同角三角函数间的关系,可单独考查,也可能与其他知识结合起来考查。 (
  3)考查题型多为选择题或填空题。 二、三角函数的诱导公式
  1、考纲点击 、 能利用单位圆中的三角函数线推导出
  2、热点提示 、 (
  1)利用诱导公式求角的三角函数值或求三角函数式的值是高考考查的重点; (
  2)在三角函数式的化简或证明中,间接考查诱导公式; (
  3)多以选择题、填空的形式考查。 三、三角函数的图象与性质
  1、考纲点击 、 (
  1)能画出 y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性; (
  2)理解正弦函数、余弦函数在区间[
  0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值 以及与 x 轴的交点等),理解正切函数在区间 ? ?
  2、热点提示 、
π
2
± α , π ± α 的正弦、余弦、正切的诱导公式。
? π π? , ? 内的单调性。 ? 2 2?
1

  1)三角函数的图象在每年的高考中都有考查,应熟练掌握各个三角函数的图象; (
  2)三角函数的周期性、最值、单调性是高考重点考查的内容,应重点掌握; (
  3)多以选择题、填空题的形式考查,属容易题。 四、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 ω φ 的图象及三角函数模型的简单应用
  1、考纲点击 、 (
  1)了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解 参数 A,ω,φ对函数图象变化的影响; (
  2)了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,会用三角函数解决一些简单 实际问题。
  2、热点提示 、 (
  1)用“五点作图法”作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象,同时考查三角函数图象的变换 和对称性; (
  2)函数 y=Asin(ωx+φ)的周期性、奇偶性、单调性、值域与最值是高考考查的重点; (
  3)三种题型都可能出现,以容易题、中档题为主。 五、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角和与差的正弦、
  1、考纲点击 、 (
  1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式; (
  2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式; (
  3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正 弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系。
  2、热点提示 、 (
  1)灵活运用两角和与差的三角函数公式进行化简,恒等变换、求值,是高考经常考 查的内容; (
  2)二倍角公式的正用、逆用、变形用是高考考查的热点; (
  3)对 asinx+bcosx 的化简是高考每年必考内容; (
  4)三种题型均有可能出现,以中档题为主。 六、简单的三角恒等变换
  1、考纲点击 、 能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简 单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆)。
2

  2、热点提示 、 (
  1)灵活运用三角公式特别是倍角公式进行三角恒等变换,进而考查三角函数的图象 和性质是高考的热点内容; (
  2)以三角函数为背景、向量为载体考查恒等变形能力以及运用正、余弦定理判定三 角形的形状,求三角的面积等问题是知识交汇点处命题的一个热点问题; (
  3)多以解答题的形式呈现,属中、低档题。
【考纲知识梳理】 考纲知识梳理】
一、任意角和弧度制及任意角的三角函数
  1、任意角 、 (
  1)角概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角; ②按终边位置不同分为象限角和轴线角。 (
  2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α+k?360 (k∈Z)。 (
  3)象限角及其集合表示 象限角 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合 象限角的集合表示 {α|2kπ<α<2kπ+ {α|2kπ+
o
π
2
,k∈Z}
π
2
<α<2kπ+ π ,k∈Z}
{α|2kπ+ π <α<2kπ+ {α|2kπ+
3π <α<2kπ+2 π ,k∈Z} 2 kπ , k∈Z } 2
3π ,k∈Z} 2
注:终边在 x 轴上的角的集合为{α|α=kπ, k∈Z };终边在 y 轴上的角的集合为{α| α=kπ+
π
2
, k∈Z };终边在坐标轴上的角的集合为{α|α=

  2、弧度制 (
  1)1 弧度的角 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,用符号 rad 表示。 (
  2)角α的弧度数 如果半径为 r 的圆的圆心角α所对弧的长为 l ,那么角α的弧度数的绝对值是|α|= l /r.
3

  3)角度与弧度的换算 ①1 =π/180rad;②1rad=(180/π) . (
  4)弧长、扇形面积的公式 设扇形的弧长为 l ,圆心角大小为α(rad),半径为 r。又 l =rα,则扇形的面积为 S=
0 0
1 1 l r= r2α 2 2

  3、任意角的三角函数 三角函数 定义 正弦 余弦 正切
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 y 叫做α的正弦, 记作 sinα x 叫做α的余弦,记作 cosα + + 一全正,二正弦,三正切,四余弦 sin(α+k?2π)=sin α cos(α+k? 2π)=cosα tan(α+k?2π)=tan α y/x 叫做α的正切,记 作 tanα + + -
各象限 符号
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 口诀
+ + -
终边相同角三角 函数值(k∈Z) (公 式一) 三角函数线
有向线段 MP 为正弦线 有向线段 OM 为余弦线
有向线段 AT 为正切线
注:根据三角函数的定义,y=sinx 在各象限的符号与此象限点的纵坐标符号相同; y=cosx 在各象限的符号与此象限点的横坐标符号相同;y=tanx 在各象限的符号与此象限点 的纵坐标与横坐标商的符号相同。
  4、同角三角函数的基本关系 (
  1)平方关系:sin α+cos α=1;
2 2
4

  2)商数关系:
sin α = tan α cos α
二、三角函数的诱导公式
  1、下列各角的终边与角α的终边的关系 下列各角的终边与角α 角 2kπ (k∈ 2kπ+α(k∈Z) π +α -α
图示
与α角终边的关 相同 系 关于原点对称 关于 x 轴对称

π-α
π
2

π
2

图示
与α角终边的关 关于 y 轴对称 系 关于直线 y=x 对称

  2、六组诱导公式 组数 角 (k∈Z) 正弦 余弦 正切 sinα cosα tanα -sinα - cosα tanα -sinα cosα - tanα sinα - cosα - tanα 一 2kπ+α π+α -α π-α 二 三 四 五 六
π
2

π
2

cosα sinα
cosα -sinα
函数名不变 口诀 符号看象限
函数名改变 符号看象限
5
三、三角函数的图象与性质
  1、周期函数 (
  1)周期函数的定义 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函数。非零常数 T 叫做这个函数的周期。 (
  2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期。 注:如果函数 y=f(x)的周期是 T,则函数 y=f(ωx)周期是
T |ω |
,而不是
T
ω


  2、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 正弦函数、余弦函数、 函数 y=sinx y=cosx y=tanx
图象
x∈R 且 定义域 x∈R x∈R
x≠
π
2
+ kπ , k ∈ Z
R 奇
值域 奇偶性 对称
{y|-
  1≤y≤1} 奇 (kπ,
  0),k∈Z
{y|-
  1≤y≤1} 偶 (kπ+
π
2
,
  0),k∈Z

对称 性
中心 对称 x= kπ+ 轴
kπ ,
  0),k∈Z 2
无 π
π
2
,k∈Z
x= kπ,k∈Z 2π
周期

注:y=sinx 与 y=cosx 的对称轴方程中的 x 都是它们取得最大值或最小值时相应的 x,
6
对称中心的横坐标都是它们的零点。
四、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 ω φ 的图象及三角函数模型的简单应用
  1、简谐运动的有关概念 简谐运动图象的解 析式 y=Asin( ω x+ φ ) ( A>0, ω >0 ) x ∈ [
  0.+∞) ∞
  2、用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 ω φ 一个周期内的简图 用五点法画 y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如表所示 ωx+φ 0 A T= 振幅 周期 频率 相位 初相

ω
f =
1 ω = T 2π
Ωx+φ
φ
π
2
π
3π 2

x
φ ? ω
0
π
2

ω
A
π ?φ ω
0
3π ?φ 2
ω
2π ? φ ω
0
y=Asin(ωx+ -A φ) 注:在上表的三行中,找五个点时,首先确定第一行的数据,即先使ωx+φ=
  0, ω φ , π,
3π ,2π然后求出 x 的值。 2
π , 2

  3、函数 y=sinx 的图象经变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤 ω φ 的图象的步骤
五、两角和与差的正弦、余弦和正切公式 两角和与差的正弦、 差的正弦
  1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
7

  2、二倍角的正弦、余弦、正切公式
.
2 tan
sinα=
α
2 ,
2
1 ? tan 2
cosα=
α α
2 2
1 + tan
α
2
1 + tan
2

  3、形如 asinα+bcosα的化简 asinα+bcosα= a + b sin(α+β).其中 cosβ=
2 2
a a2 + b2
,sinβ=
b a2 + b2
六、简单的三角恒等变换
  1、用 cosα表示 sin2 、 α sin
α
2
,cos2
α
2
,tan2
α
2
1 ? cos α 2α 2
=
2 α 1 + cos α cos2 = ; 2 2 α 1 ? cos α tan2 = 2 1 + cos α
注: 上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用; 从右到左起到一个缩角升幂的作
;
用。
  2、用 cosα表示 sin 、 α
α
2
,cos
α
2
,tan
α
2
8
sin
α
2

1 ? cos α 2 1 + cos α 2 1 ? cos α 1 + cos α
cos
α
2

tan
α
2
= ±
2 sin α 1 ? cos α tan = = 2 1 + cos α sin α

  3、用 sinα,cosα表示 tan
α
α
【热点难点精析】 热点难点精析】
一、任意角和弧度制及任意角的三角函数
  1、三角函数的定义 、 ※相关链接※ 相关链接※ (
  1)已知角α终边上上点 P 的坐标,则可先求出点 P 到原点的距离 r,然后用三角函 数的定义求解; (
  2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原 点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题,若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出 角的α值。 注:若角α的终边落在某条直线上,一般要分类讨论。 ※例题解析※ 例题解析※ 〖例〗已知角α的终边落在直线 3x+4y=0 上,求 sinα,cosα,tanα的值。 思路解析: 思路解析:本题求α的三角函数值,依据三角函数的定义,可在角α的终边上任意一点 P(4t,-3t)(t≠
  0),求出 r,由定义得出结论。 解答:∵角α的终边在直线 3x+4y=0 上,∴在角α的终边上任取一点 P(4t,-3t)(t≠
  0), 则 x=4t,y=-3t., r= x 2 + y 2 = (4t ) 2 + ( ?3t ) 2 =5|t|, 当 t>0 时,r=5t,sinα=
y ?3t 3 x 4t 4 y ?3t 3 = = ? , cos α = = = , tan α = = =? ; r 5t 5 r 5t 5 x 4t 4
9
y ?3t 3 x 4t 4 y ?3t 3 = = , α= = cos =? , α = = tan =? 。 r ?5t 5 r ?5t 5 x 4t 4 3 4 3 综 上 可 知 , sin α = ? , cos α = , tan α = ? ; 或 sin α = 5 5 4 3 4 3 , cos α = ? , tan α = ? . 5 5 4
当 t<0 时, r=-5t, sinα=
  2、象限角、三角函数值符号的判断 、象限角、三角函数值符号的判断 ※相关链接※ 相关链接※ (
  1)熟记各个三角函数在每个象限内的符号是关键; (
  2)判断三角函数值的符号就是要判断角所在的象限; (
  3)对于已知三角函数式的符号判断角所在象限,可先根据三角函数式的符号确定三 角函数值的符号,再判断角所在象限。 ※例题解析※ 例题解析※ 〖例〗(
  1)如果点 P(sinθ?cosθ,2cosθ)位于第三象限,试判断角θ所在的象限; (
  2)若θ是第二象限角,则
sin(cos θ ) 的符号是什么? cos(sin 2θ )
思路解析: 思路解析:(
  1)由点 P 所在的象限,知道 sinθ?cosθ,2cosθ的符号,从而可求 sin θ与 cosθ的符号; (
  2)由θ是第二象限角,可求 cosθ,sin2θ的范围,进而把 cosθ,sin2 θ看作一个用弧度制的形式表示的角,并判断其所在的象限,从而 sin(cosθ),cos(sin2θ)的 符号可定。 解答: (
  1)因为点 P(sinθ?cosθ,2cosθ)位于第三象限,所以 sinθ?cosθ<
  0,2cos θ<
  0,即 ?
?sin θ > 0 所以θ为第二象限角。 ?cos θ < 0

  2)∵2kπ+
π <θ<2kπ+π(k∈Z),∴-1<cosθ<0,4kπ+π<2θ<4kπ+2π,-
  1≤sin2θ 2
sin(cos θ ) sin(cos θ ) <0,∴ 的符号是负号。 cos(sin 2θ ) cos(sin 2θ )
<
  0.∴sin(cosθ)<0,cos(sin2θ)>0,∴

  3、已知α所在象限,求 、已知α所在象限, ※相关链接※ 相关链接※
α
n
(n ≥ 2, n ∈ N ) 所在象限
所在象限, (
  1)由α所在象限,确定 ) ①由α的范围,求出
α
n
所在象限的方法
α
n
的范围;
10
②通过分类讨论把角写成θ+k?36
 

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