【创新设计】2011届高三数学一轮复习 2-9 导数的概念与导数的运算随堂训练 理 苏教版



第 9 课时 导数的概念与导数的运算
一、填空题 ?y
  1.已知函数 f(x)=2x
  2-1 图象上一点(1,
  1)及邻近点 +?x,
  1+?y),则 =. . = 图象上一点 及邻近点(
  1+ + , 及邻近点 ?x - ?y f(x
  2)-f(x
  1) 解析: 在区间[x 上的平均变化率, 解析:我们把?x= 称为函数 f(x)在区间
  1,x2]上的平均变化率,这里 在区间 上的平均变化率 x
  2- x 1
2 2 + - × ?y [2(
  1+?x) -1]-(
  2×1 -
  1) = ?x ?x 是 f(x)在 x=1 处的导数. 在 = 处的导数.
?y 0 时, — 4,4 ?x →
答案: + 答案:
  4+2?x
  2.曲线 y=2x3 在 x=1 处的切线的斜率是. . = = 处的切线的斜率是 . 解析: 解析:令 y=f(x)=2x
  3,∴y′=f′(x)=6x
  2,∴f′(
  1)=
  6. = = ′ ′ = ′ = 答案: 答案:6 等于.
  3.已知 f(x)=x
  2+2xf′(
  1),则 f′(
  0)等于 . ′ , ′ 等于 . = 解析: ′ = + ′ , ′ = + ′ , =-
  2, ′ = - , 解析:f′(x)=2x+2f′(
  1),∴f′(
  1)=
  2+2f′(
  1),即 f′(
  1)=- ,∴f′(x)=2x-
  4, ′ =- =-
  4. ∴f′(
  0)=- ′ =- 答案:- 答案:-4 :-
  4.(2009?江苏姜堰中学、如皋中学、淮阴中学、前黄中学四校联考 已知函数 f(x)=x?ex, . 江苏姜堰中学、 江苏姜堰中学 如皋中学、淮阴中学、前黄中学四校联考)已知函数 = 则 f′(
  0)=. ′ = 解析: ′ = 解析:f′(x)=(x?ex)′=ex+xex,∴f′(
  0)=
  1. ′ ′ = 答案: 答案:1
  5.(南通市高三调研考试 曲线 C:f(x)=sin x+ex+2 在 x=0 处的切线方程为 . 南通市高三调研考试 南通市高三调研考试)曲线 : = = 处的切线方程为. + 解析: 解析:由 f(x)=sin x+ex+2 得 f′(x)=cos x+ex,从而 f′(
  0)=
  2,又 f(
  0)=
  3,所以切 = + ′ = + ′ = , = , 线方程为 y=2x+
  3. = + 答案: = + 答案:y=2x+3
  6.(盐城市调研测试 设 P 为曲线 C:y=x
  2-x+1 上一点,曲线 C 在点 P 处的切线的 . 盐城市调研测试 盐城市调研测试)设 : = + 上一点, 斜率范围是[- , , 纵坐标的取值范围是 范围是. 斜率范围是 -
  1,3],则点 P 纵坐标的取值范围是 . 解析:由题知,y′=2x-
  1,所以-
  1≤2x-
  1≤
  3,即
  0≤x≤
  2. 解析:由题知, ′ - ,所以- ≤ - ≤ , ≤ ≤ 1 3 3 3 此时 y=x
  2-x+
  1=?x-2?
  2+4的值域为?
  4,3?,故点 P 纵坐标的取值范围是?
  4,3?. = + =? - ? ? ? ? ? 3 答案:? 答案:?
  4,3? ? π π
  7.(苏北四市高三第二次联考 已知函数 f(x)=f′?2?sin x+cos x,则 f ?4?=. . 苏北四市高三第二次联考 苏北四市高三第二次联考)已知函数 + , = ′? ? ? ?
用心
爱心
专心
π π π π π 解析: 解析:由题意 f′(x)=f′(
  2)cos x-sin x,得 f′( 2 )=f′?2??cos
  2-sin
  2, ′ =′ - , ′ = ′? ? π 即 f′?2?=- , ′? ?=-
  1, π π π =-sin + ∴f(x)=- x+cos x,则 f ?4?=-
  4+cos
  4=
  0. =- , ? ?=-sin 答案: 答案:0 二、解答题
  8.求下列函数的导数: .求下列函数的导数: x x (
  1)f(x)=x2ex;(
  2)f(x)=(2x+
  1)ln x;(
  3)f(x)=sin ?cos (
  1+2x). = = + ; = 2 2 + . 解:(
  1)f′(x)=(x2ex)′=(x
  2)′ex+x2(ex)′=2xex+x2ex; ′ = ′ ′ ′ 2x+1 + (
  2)f′(x)=((2x+
  1)ln x)′=(2x+
  1)′ln x+(2x+
  1)?(ln x)′=2ln x+ ′ = + ′ + ′ + + ′ + x ; 1 1 1 (
  3)f(x)= sin x(
  1+2x),f′(x)= (sin x)′(
  1+2x)+ sinx(
  1+2x)′ = + , ′ =2 ′ + +2 + ′ 2 1 1 =2cos x(
  1+2x)+2sin x?2xln
  2. + +
  9.(2010?句容高级中学高三调研 已知函数 f(x)=x
  2+aln x. . 句容高级中学高三调研)已知函数 句容高级中学高三调研 = (
  1)当 a=- 时,求函数 f(x)的单调区间和极值; 当 =- =-2 的单调区间和极值; 的单调区间和极值 2 (
  2)若 g(x)=f(x)+x在[
  1,+∞)上是单调增函数,求实数 a 的取值范围. 若 ,+∞ 上是单调增函数, 的取值范围. = + ,+ 上是单调增函数 2(x+
  1)(x-
  1) + - 的定义域为(
  0,+ =-2 解:(
  1)由题意 f(x)的定义域为 ,+∞),当 a=- 时,f′(x)= 由题意 的定义域为 ,+∞ , =- ′ = , x =-1(舍去 令 f′(x)=0 得 x=1 或 x=- 舍去 ,当 0<x<1 时,f′(x)<
  0;当 x>1 时,f′(x)>
  0; ′ = = =- 舍去), ′ ; ′ ; 的递减区间为(0,
  1),递增区间为 ,+∞),极小值为 f(
  1)=
  1,无极大值. ,+∞ 所以 f(x)的递减区间为 的递减区间为 ,递增区间为(
  1,+ , = ,无极大值. a 2 2 (
  2)由 g(x)=x
  2+aln x+x得 g′(x)=2x+x-
  2, 由 = + ′ = + x ,+∞ 上的单调递增函数, ,+∞ 上恒成立. 若函数 g(x)为[
  1,+∞)上的单调递增函数,则 g′(x)≥0 在[
  1,+∞)上恒成立. 为 ,+ 上的单调递增函数 ′ ≥ ,+ 上恒成立 2 2 2 ,+∞ 上恒成立, 即 a≥x-2x2 在[
  1,+∞)上恒成立,令 h(x)=x-2x
  2,则 h′(x)=-x
  2-4x<0 ≥ ,+ 上恒成立 = ′ =- ,+∞ 上为减函数, 所以 h(x)在[
  1,+∞)上为减函数,因此 h(x)有最大值 h(
  1)=
  0,所以 a 的取值范围是 在 ,+ 上为减函数 有最大值 = , [
  0,+∞). ,+∞ . ,+ 1 2e 是实数,
  10.(2010?金陵中学上学期期中卷 设函数 f(x)=p?x-x?-2ln x,g(x)= x (p 是实数,e . 金陵中学上学期期中卷)设函数 金陵中学上学期期中卷 = ? - ? , = 是自然对数的底数). 是自然对数的底数 . (
  1)当 p=2 时,求与函数 y=f(x)的图象在点 A(1,
  0)处相切的切线方程; 当 = 处相切的切线方程; = 的图象在点 处相切的切线方程 (
  2)若函数 f(x)在其定义域内单调递增,求实数 p 的取值范围; 若函数 在其定义域内单调递增, 的取值范围; 在其定义域内单调递增
用心 爱心 专心
(
  3)若在 ,e]上至少存在一点 x
  0,使得 f(x
  0)>g(x
  0)成立,求实数 p 的取值范围. 若在[
  1, 上至少存在一点 成立, 的取值范围. 若在 成立 p 2 的图象上, = 在函数 = 的图象上 解:(
  1)∵f′(x)=p+x
  2-x,当 p=2 时,点 A(1,
  0)在函数 y=f(x)的图象上, ∵′ = + ∴f′(
  1)=
  2.则 y=f(x)在该点处的切线方程为 y=2(x-
  1),即 2x-y-
  2=
  0. ′ = 则 = 在该点处的切线方程为 = - , - - = px
  2-2x+p + (
  2)∵f′(x)= ∵′ = 为单调增函数, ,+∞ 恒成立, ,要使 f(x)为单调增函数,须 f′(x)≥0 在(
  0,+∞)恒成立, 为单调增函数 ′ ≥ ,+ 恒成立 x2 2x 2 2 ,+∞ 恒成立, ,+∞ 恒成立, 即 px -2x+p≥0 在(
  0,+∞)恒成立,即 p≥ 2 = 1在(
  0,+∞)恒成立, + ≥ ,+ 恒成立 ≥ ,+ 恒成立 x +1 x+ +x 2 ,+∞ 为单调增函数; 又
  1≤
  1,所以当 p≥1 时,f(x)在(
  0,+∞)为单调增函数; , ≥ 在 ,+ 为单调增函数 x+ +x 2e 上为减函数, (
  3)因 g(x)= x 在[
  1,e]上为减函数,所以 g(x)∈[2,2e]. 因 , 上为减函数 ∈ . = p 2 ①当 p≤0 时,f′(x)=p+
  2-x<0 对于 x∈[
  1,e]恒成立,则 f(x)在[
  1,e]上递减, ≤ ′ = + ∈ , 恒成立, 在 , 上递减, 恒成立 上递减 x 所以 f(x)max=f(
  1)=0<
  2,不合题意; = ,不合题意; 上递增, 上为减函数, ②当 p≥1 时,由(
  2)知 f(x)在[
  1,e]上递增,f(x)min=f(
  1)<
  2,又 g(x)在[
  1,e]上为减函数, ≥ 知 在 , 上递增 , 在 , 上为减函数 1 4e 故只需 f(x)max>g(x)min,即 f(e)=p?e-e ?-2ln e>
  2,解得 p> 2 ; = ? - ? , e -1 1 1 1 ③当 0<p<1 时,因 x-x≥
  0,所以 f(x)=p?x-x?-2ln x≤x-x-2ln x - , = ? - ? ≤ - 1 1 1 1 上为增函数, 由(
  2)知 x-x-2ln x 在[
  1,e]上为增函数,所以 x-x-2ln x≤e-e -2ln e<
  3-
  3-2 知 - , 上为增函数 - ≤ - - 4e 2 ,+∞ =3<
  2,不合题意.综上,p 的取值范围为?e
  2-
  1,+∞?. ,不合题意.综上, ? ?

  1.(创新题 设点 P 是曲线 y=x
  3- . 创新题 创新题)设点 = 的取值范围是. 则角 α 的取值范围是 .
3x+2 上的任意一点,P 点处切线的倾斜角为 α, + 上的任意一点, 点处切线的倾斜角为 ,
解析: , ′ = 解析:设 P(x
  0,y
  0),则 y′|x=x
  0=3x
  2- 0 2 π ∴α∈?3π,π?∪?
  0,2?. ∈? , ? ? , ? π 2 答案:? , ? ? , ? 答案:?
  0,2 ?∪?3π,π? 1 4
  2.已知曲线 y= x
  3+ . . =3 3

  3,∴tan α=3x
  2- , = 0

  3,∴tan α≥- , ≥

  3, ,
(
  1)求曲线在点 P(2,
  4)处的切线方程;(
  2)求曲线过点 P(2,
  4)的切线方程. 求曲线在点 处的切线方程; 求曲线过点 的切线方程. 处的切线方程 的切线方程 解:(
  1)∵y′=x
  2,∴在点 P(2,
  4)处的切线的斜率 k=y′|x=
  2=
  4. ∵ ′ 处的切线的斜率 ′ ∴曲线在点 P(2,
  4)处的切线方程为 y-
  4=4(x-
  2),即 4x-y-
  4=
  0. 处的切线方程为 - = - , - - =
用心 爱心 专心
1 3 4 1 4 (
  2)设曲线 y= x
  3+ 与过点 P(2,
  4)的切线相切于点 A?x
  0,3x
  0+3?, 设曲线 = 的切线相切于点 ? ? 3 3 1 3 4 2 2 ∴ -? - , 则切线的斜率 k=y′|x=x
  0=x
  0.∴切线方程为 y-?3x
  0+3?=x0(x-x
  0), ′ = ? 2 3 4 2 在切线上, 即 y=x0?x-3x
  0+
  3.∵点 P(2,
  4)在切线上, = - ∵ 在切线上 2 4 3 ∴
  4=2x
  2- x
  3+ ,即 x
  3-3x
  2+
  4=
  0,∴x
  0+x
  2-4x
  2+
  4=
  0, = 0 = , = , 0 0 0 0 3 0 3
2 2 =-1 ∴x0(x
  0+
  1)-4(x
  0+
  1)(x
  0-
  1)=
  0,∴(x
  0+
  1)(x
  0-
  2) =
  0,解得 x
  0=- 或 x
  0=
  2, - = , , ,
故所求的切线方程为 4x-y-
  4=0 或 x-y+
  2=
  0. - - = - + =
用心
爱心
专心
 

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