点中点??高一数学必修一知识点大全



第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念
  1. 集合的含义
  2. 集合的中元素的三个特性: (
  1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (
  2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (
  3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
  3.集合的表示: … } 如: { {我校的篮球队员}, {太平洋,大西洋,印度洋, 北冰洋} (
  1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (
  2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R
  1) 列举法:{a,b,c……}
  2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合 的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
  3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}
  4) Venn 图:
  4、集合的分类: (
  1) 有限集 含有有限个元素的集合 (
  2) 无限集 含有无限个元素的集合 2 (
  3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x =-
  5} 二、集合间的基本关系
  1.“包含”关系?子集 (
  2)A 与 B 是同一集合。 注意: A ? B 有两种可能(
  1)A 是 B 的一部分,;
/ / 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A ? B 或 B ? A
  2.“相等”关系:A=B (
  5≥
  5,且
  5≤
  5,则 5=
  5) 2 实例:设 A={x|x -1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果 A?B,且 A≠ B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集, 记作 A B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B
  3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 n n-1 有 n 个元素的集合,含有 2 个子集,2 个真子集 三、集合的运算 运算 类型 定 义 交 集 并 集 补 集
B(或
由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的 交集. 记作 A I B 读 (
由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合, 叫做 A,B 的并集.记作:A U B
设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集,由 S 中 所有不属于 A 的元素组 成的集合,叫做 S 中子 集 A 的补集(或余集)
作‘A 交 B’),即 A I B={x|x ∈ A,且 x ∈ B}. 韦 恩 图 示 性
(读作‘A 并 B’), 记作 C A ,即 S 即 A U B ={x|x ∈ A, 或 x ∈ B}).
A
CSA= {x | x ∈S, 且 ? A x } S A
A
B
B
图1
图2

A I A=A A I Φ=Φ A I B=B I A AI B?A AI B?B
A U A=A A U Φ=A A U B=B U A AU B?A AU B?B
(CuA) I (CuB) = Cu (A U B) (CuA) U (CuB) = Cu(A I B) A U (CuA)=U A I (CuA)= Φ.
例题:
  1.下列四组对象,
  1.下列四组对象,能构成集合的是 下列四组对象 ( ) A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
  2.集合{a,b,c }的真子集共有 个 2 .
  3.若集合 M={y|y=x -2x+1,x ∈ R},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系是
  4.设集合 A= { x 1 < x < 2} ,B= x x < a} ,若 A ? B,则 a 的取值范围是
  5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 人,化学实验做得正确得有 31 人, 人。 两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有
  6. 用描述法表示图中阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合 M= . 2 2
  7.已知集合 A={x| x +2x-8=0}, B={x| x -5x+6=0}, C={x| 2 2 x -mx+m -19=0}, 若 B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求 m 的值 40
{
二、函数的有关概念
  1.函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它 对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数.记作: y=f(x), x∈A.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:
  1.定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是: (
  1)分式的分母不等于零; (
  2)偶次方根的被开方数不小于零; (
  3)对数式的真数必须大于零; (
  4)指数、对数式的底必须大于零且不等于
  1.
(
  5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么, 它的定义域 是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (
  6)指数为零底不可以等于零, (
  7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法:①表达式相同(与表示自变量和函数值的字母 无关);②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例
  2)
  2.值域 : 先考虑其定义域 (
  1)观察法 (
  2)配方法 (
  3)代换法
  3. 函数图象知识归纳 (
  1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标, 函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图 象. 上每一点的坐标(x, 均满足函数关系 y=f(x), C y) 反过来, 以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . (
  2) 画法 A、 描点法: B、 图象变换法 常用变换方法有三种
  1) 平移变换
  2) 伸缩变换
  3) 对称变换
  4.区间的概念 (
  1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (
  2)无穷区间 (
  3)区间的数轴表示.
  5.映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f, 使对于集合 A 中的任意一个元素 x, 在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之 对应,那么就称对应 f:A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f (对应关系):A(原象) → B(象)” 对于映射 f:A→B 来说,则应满足: (
  1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (
  2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; (
  3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。
  6.分段函数 (
  1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (
  2)各部分的自变量的取值情况. (
  3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 补充:复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。
二.函数的性质
  1.函数的单调性(局部性质) (
  1)增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任 意两个自变量 x
  1,x
  2,当 x1<x2 时,都有 f(x
  1)<f(x
  2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间.
如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x
  1,x
  2,当 x1<x2 时,都有 f(x
  1) >f(x
  2),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调 减区间. 注意:函数的单调性是函数的局部性质; (
  2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上 升的,减函数的图象从左到右是下降的. (
  3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 ○ 任取 x
  1,x
  2∈D,且 x1<x
  2; 2 ○ 作差 f(x
  1)-f(x
  2); 3 ○ 变形(通常是因式分解和配方); 4 ○ 定号(即判断差 f(x
  1)-f(x
  2)的正负); 5 ○ 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密 切相关,其规律:“同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的 区间和在一起写成其并集.
  8.函数的奇偶性(整体性质) (
  1)偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. (
  2).奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=?f(x),那 么 f(x)就叫做奇函数. (
  3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 利用定义判断函数奇偶性的步骤: 1 ○首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; 2 ○确定 f(-x)与 f(x)的关系; 3 ○作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) =
  0,则 f(x)是 偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) =
  0,则 f(x)是奇函数. 注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看 函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对 称,(
  1)再根据定义判定; (
  2)由 f(-x)±f(x)=0 或 f(x)/f(-x)=±1 来判 定; (
  3)利用定理,或借助函数的图象判定 .
  9、函数的解析表达式 (
  1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关 系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域. (
  2)求函数的解析式的主要方法有:
  1) 凑配法
  2) 待定系数法
  3) 换元法
  4) 消参法
  10.函数最大(小)值(定义见课本 p36 页) 1 ○ 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值
2 ○ 利用图象求函数的最大(小)值 3 ○ 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函 数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函 数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); 例题:
  1.求下列函数的定义域: 2 x ?1 2 ⑴ y = x ? 2 x ? 15 ⑵ y = 1? ( ) x +1 x+3 ?3
  2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [
  0,1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为\\_ \\_
  3.若函数 f ( x +
  1) 的定义域为 [ ?2 , 3] ,则函数 f (2 x ?
  1) 的定义域是
  4.函数 f ( x) = ? x 2 (?1 < x <
  2) ,若 f ( x ) = 3 ,则 x =
? ?2 x( x ≥
  2) ? ? x + 2( x ≤ ?
  1)

  5.求下列函数的值域: ⑴ y = x2 + 2 x ? 3 ( x ∈ R) (
  3) y = x ? 1 ? 2 x
⑵ y = x 2 + 2 x ? 3 x ∈ [1, 2] (
  4) y = ? x 2 + 4 x + 5

  6.已知函数 f ( x ?
  1) = x 2 ? 4 x ,求函数 f (x), f (2x+
  1) 的解析式
  7.已知函数 f (x) 满足 2f (x) + f (?x) =3x+
  4,则 f ( x ) = 。

  8.设 f (x)是 R 上的奇函数,且当 x ∈ [0, +∞ ) 时, f ( x) = x(1 + 3 x ) ,则当 x ∈ (?∞,
  0) 时 f (x) =
f (x)在 R 上的解析式为

  9.求下列函数的单调区间: ⑴ y = x2 + 2x + 3 ⑵ y = ? x2 + 2x + 3 ⑶ y = x2 ? 6 x ?1

  10.判断函数 y = ? x 3 + 1 的单调性并证明你的结论.
  11.设函数 f ( x) = 1 + x 判断它的奇偶性并且求证: f ( 1 ) = ? f ( x ) . 1? x2 x
2
第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算 那么 x 叫做 a 的 n 次方根, 其中 n >
  1,
  1. 根式的概念: 一般地, 如果 x = a , * 且n∈N .
n
负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是
  0,记作 n 0 = 0 。 当 n 是奇数时, a = a ,当 n 是偶数时, n a
n n n
? a ( a ≥
  0) =| a |= ? ? ? a ( a <
  0)

  2.分数指数幂 正数的分数指数幂的意义,规定:
m
a n = n a m (a > 0, m, n ∈ N * , n >
  1)

a
?
m n
=
1 a
m n
=
1
n
a
m
(a > 0, m, n ∈ N * , n >
  1)
0 的正分数指数幂等于
  0,0 的负分数指数幂没有意义
  3.实数指数幂的运算性质 (
  1) a ? a = a
r r r+s
(a > 0, r , s ∈ R ) ;

  2) ( a ) = a
r s r rs
(a > 0, r , s ∈ R) ;

  3) ( ab) = a a
r s
(a > 0, r , s ∈ R) .
(二)指数函数及其性质
  1、指数函数的概念:一般地,函数 y = a x ( a > 0, 且a ≠
  1) 叫做指数函数, 其中 x 是自变量,函数的定义域为 R. 注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和
  1.
  2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
6 6 5 5
4
4
3
3
2
2
1
1
1
1
-4
-2
0
-1
2
4
6
-4
-2
0
-1
2
4
6
定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(
  0,
  1)
定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定 点(
  0,
  1)
注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: ( 1 ) 在 [a , b] 上 , f ( x ) = a x (a > 0且a ≠
  1) 值 域 是 [f (a ), f ( b)] 或
[f (b), f (a )] ; (
  2)若 x ≠ 0 ,则 f ( x ) ≠ 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ∈ R ; (
  3)对于指数函数 f ( x ) = a x (a > 0且a ≠
  1) ,总有 f (
  1) = a ;
二、对数函数 (一)对数
  1. 对数的概念: 一般地, 如果 a = N (a > 0, a ≠
  1) , 那么数 x 叫做以 a 为 . .
x
底 N 的对数,记作: x = log a N ( a ? 底数, N ? 真数,log a N ? 对 . 数式) 说明:○ 注意底数的限制 a > 0 ,且 a ≠ 1 ; 1 2 ○ a = N ? log a N = x ; 3 ○ 注意对数的书写格式.
x
log a N
两个重要对数: 1 ○
 

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