高二上学期数学期末测试题



长春二实验中学高二上学期期末测试题
一、选择题 1 .若集合 A = x | x 2 ? 3 x + 2 < 0 , B = {x || x ? a |< 1},则“ a ∈ (1,
  2) ”是“ A ? B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2 .下列命题错误的是 ..
{
}
2 1 8 .如果对 x, y > 0 ,有 ( x + 4 y )( + ) ≥ m 恒成立,那么实数 m 的取值范围是 x 2y
A.命题“若
,则方程 无实根,则 ”?
有实根”的逆否命题为:“若方程
B. C. D. A. 9 .已知三棱锥 S?ABC 中,底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形.SA 垂直于底面 ABC,SA=3,那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 3 5 7 3 A. B. C. D. 4 4 4 4
  10.已知抛物线 的准线与圆 相切,则 p 的值为 A.0 B.1 C.2 D.4 与该双曲线的一条渐
  11. 设双曲线的一个焦点为 ,虚轴的一个端点为 ,如果直线 近线垂直,那么此双曲线的离心率为 3 +1 5 +1 A. 2 B. 3 C. D. 2 2 1
  12.若函数 f ( x) = ? x 2 + a ln x 在区间 (1,+∞) 上是减函数,则实数 的取值范围为 2 A. B. C. D. 二、填空题 x2 ? 4
  13.若 > 0 则 x 的取值范围是 x?2
  14.在△ABC 中,∠A、∠B、∠C 所对的边长分别为 a、b、c.若 b=2asinB,则角 A 的大 小为.
  15.与圆 C1 : ( x +
  3) 2 + y 2 = 1 ,圆 C 2 : ( x ?
  3) 2 + y 2 = 9 同时外切的动圆圆心的轨迹方程 是。
  16. α ∈ [ , π ] 时, 当 方程 x 2 sin α ? y 2 cos α = 1 表示的曲线可能是 填序号) ( . 2 ① 圆 ②两条平行直线 ③椭圆 ④双曲线 ⑤抛物线 选择题答题框 题号 1 答案 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B.“ ”是“ ”的充分不必要条件? C.命题“若 xy = 0 ,则 x, y 中至少有一个为零”的否定是:“若 xy ≠ 0 ,则 x, y 都不 为零”? ,使得 ;则 是 D.对于命题 3 . 中,由已知条件解三角形,其中有两解的是 A. B. C. D. 4 .设 S n 为等比数列 {a n } 的前 n 项和, 8a 2 + a5 = 0 ,则 ,均有 ?
S5 = S2
,总有 a n , S n , a n 成
2
A.11 B.5 C. D. 5 .数列 {a n } 的各项均为正数, S n 为其前 n 项和,对于任意 等差数列,则 a 2009 =
π
A.1 B.4018 C.2010 D.2009 2 6 .设函数 f ( x) = x + x ,若数列 {bn }满足 bn f (n) = 1 则 b1 + b2 + …… + b2009 = 2008 2009 2009 2010 A. B. C. D. 2009 2008 2010 2009 x≤2 ? ? y ≤1 ,则 x ? y 的取值范围是 7 .已知 x, y 满足条件 ? ?x + 2 y ? 2 ≥ 0 ? A. B. C. D.
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三、解答题
  17.小明在某岛上的 A 处,上午 11 时测得在 A 的北偏东 600 的 C 处有一艘轮船,12 时 20 分时测得该船航行到北偏西 600 的 B 处, 时 40 分时又测得轮船到达位于 A 正 12 西方 5 千米的港口 E 处,如果该船始终保持匀速直线运动。 求:(
  1)点 B 到 A 的距离;(
  2)船的航行速度。

  20.三棱锥 P-ABC 中,PC、AC、BC 两两垂直,BC=PC=1,AC=2,E、F、G 分别是 AB、AC、AP 的中点. (Ⅰ)求证:平面 GFE∥平面 PCB; (Ⅱ)求 GB 与平面 ABC 所成角的正切值; (Ⅲ)求二面角 A-PB-C 的大小.
4
  18.已知 m ∈ R,设 P:不等式 | m 2 ? 5m ? 3 |≥ 3 ;Q:函数 f ( x) = x 3 + mx 2 + (m + ) x + 6 3 在(- ∞ ,+ ∞ )上有极值.求使 P 正确且 Q 正确的 m 的取值范围.

  21.如图,AB 为半圆直径,O 为半圆圆心,且 OD ⊥ AB , Q 为线段 OD 的中点, | AB |= 4 , 曲线 C 过点 Q ,动点 P 在曲线 C 上运动,且保持 | PA | + | PB | 的值不变. (
  1)建立适当的平面直角坐标系,求曲线 C 的方程; (
  2)若过点 D 的直线 l 与曲线 C 相交于不同的两点 M,N,且点 M 在 D,N 之间,设
  19. a 2 , a 5 是方程 的两根, 数列 {a n } 是公差为正的等差数列,数列 {bn }
DM = λ DN (λ >
  0) ,求 λ 的取值范围.
1 的前 项和为 Tn ,且 Tn = 1 ? bn (n ∈ N ? ) 2 (
  1)求数列 {a n } , {bn }的通项公式;
(
  2)记 c n = a n bn ,求数列 {c n }的前 项和 S n .
  22.已知函数 f ( x) = ln(e x + a ) ( a 为常数)是实数集 R 上的奇函数,函数 g ( x) = λf ( x) + sin x 是区间[-
  1,1]上的减函数 (I)求 a 的值; (II)若 (III)讨论关于 x 的方程 上恒成立,求 t 的取值范围;
ln x = x 2 ? 2ex + m 的根的个数 f ( x)
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全国卷设置参考答案 一、选择题
  1. A
  1. 解析:命题的否定是只否定结论,∴选 C.
  1. C
  1. 答案:D 解析:解析:通过 ,设公比为 ,将该式转化为 ,解得 =-
  2,带入所求式可知答案选 D,本题主要考察了本题主要考察了等比数列的通项 公式与前 n 项和公式,属中档题 D C B D D C ,

中,由正弦定理得

  2)在
中,由余弦定理得

  1.
  1.
  1.
  1.
  1.
  1.
所以 所以轮船速度是 答:点 B 到 A 的距离为
  1. 解:由已知不等式得 ① 或 不等式①的解为 不等式②的解为 因为,对 或 对函数 (千米/小时) 千米,船的航行速度为 千米/小时。

  1. 解析:选 D.不妨设双曲线的焦点在 轴上,设其方程为: 则一个焦点为 一条渐近线斜率为: ,直线 ,解得
  1. C 二、填空题
  1. ;
  1.
  30°或 1
  50°(只写一个答案扣 1 分)
  1.
  1. ①②③ 三、解答题
  1. (
  1)由已知得 BC=4BE,设 BE=x,则 BC=4x, 在 中,由正弦定理得 的斜率为: . , ,
② 或 或 时,P 是正确的 求导
令 ,即 当且仅当?>0 时,函数 f( )在(-?,+?)上有极值 由 因为,当 或 得 或 时,Q 是正确的 ,
综上,使 P 正确且 Q 正确时,实数 m 的取值范围为(-?,-
  1)?
  1. 解:(
  1)由 .且 得
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, 在 两式相减得 中,令 得 , 当 时,T = ,
=(2,0,
  0)是平面 PBC 的一个法向 量. (Ⅲ)解:显然 设 n=(x,y,z)是平面 PAB 的一个法向量, 为 =(-2,0,
  1), =0,n? =(-2,1,
  0), =0 解得 n=(1,2,
  2). 与 的大小也为
所以由 n?
设二面角 A-PB-C 的大小为 ,由图可知,
所以 cos = (
  2) , , ,
= .
=2 = ,
  1. 解:(
  1) 以 ∵
  1. 解:依条件建立如图所示空间直角坐标系.所以 A(2,0,
  0),B(0,1,
  0), P(0,0,
  1) (Ⅰ)略. (Ⅱ)解:连接 BF,因为 GF∥PC,PC 平 面 ABC, 所 以 GF 平面 ABC,BF 为斜线 BG 在平面 ABC 上的射影,则 GBF 为所求. 因为 F、G 分别为 AC,AP 的中点, , , , , , , 心, ∴ 所在直线分别为 轴、 轴, =2 为原点,建立平面直角坐标系,? . ∴曲线 为以原点为中 ,
、 为焦点的椭圆. 设其长半轴为 a, 短半轴为 b, 半焦距为 c, 则 , . ∴曲线 的方程为 . (
  2) 当直线 l 的斜率存在
=
.
.
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时,设直线 l 的方程为
,
, (II)又 在[-
  1,1]上单调递减,
令 则 代入 , 得 . 由 ,

.
由韦达定理得


,代 (III)由(I)知 令 , ,
入上式得
两式相除得
.
,

上为增函数; 上为减函数,
, 存在时,显然 .
  1. 解:(I) 则 是奇函数, 恒成立
,∴
. 当 不

时,
(此时直线 l 与 y 轴重合). 综上所述, 的取值范围是
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而 、 ∴①当 ②当 ③当

在同一坐标系的大致图象如图所示, 时,方程无解 时,方程有一个根 时,方程有两个根
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