高三数学期中复习3



高三数学期中复习综合练习( 高三数学期中复习综合练习(三) 期中复习综合练习
一、填空
  1、若向量 a = (3, m) , b = (2, ?
  1) , a ⊥ b ,则实数 m 的值为
  2、若 (1 + ai ) = ?1 + bi.( a, b ∈ R, i是虚数单位),则 a + bi =
2

  3、命题“ ?x ∈ R, x + 2 x + m ≤ 0 ”为假,则 m 的取值范围为
2

  4、f(x)=x(x-c)2 在 x=2 处有极大值,则常数 c=.
  5、定义 A?B={z|z=xy+ ,x∈A,y∈B}.设集合 A={0,2},B={1,2},C={1},则集合(A?B)?C 的所有元素之和为.
  6、(2009 年高考全国卷Ⅱ)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn.若 a
  5=5a
  3,则 =.
  7、若函数 y = sin( 2 x + 得的函数解析式为 π π
  8、(2009 年高考上海卷)已知函数 f(x)=sinx+tanx,项数为 27 的等差数列{an}满足 an∈(- , ), 2 2 且公差 d≠
  0.若 f(a
  1)+f(a
  2)+…+f(a
  27)=
  0,则当 k=时,f(ak)=
  0.
  9、已知关于 x 的不等式 2x+ 2 ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a 的最小值为. x-a
x y
S9 S5
π
4
) 横坐标变为原来的两倍,向右平移
π
4
个单位,再向上平移 2 个单位,所
?x ? y + 1 ≥ 0 ? 且目标函数 z = ax + 2 y 仅在点 (1,
  0) 处取得最小值,
  10、若实数 x, y 满足约束条件 ? x + y ≥ 1 ?2 x ? y ≤ 2 ?
则 a 的取值范围为 1 1
  11、已知|a|=2|b|≠
  0,且关于 x 的函数 f(x)= x
  3+ |a|x
  2+a?bx 在 R 上有极值,则 a 与 b 夹角的范围 3 2 为.
  12、观察下列等式:13 + 2 3 = 3 2 ,13 + 2 3 + 33 = 6 2 ,13 + 2 3 + 33 + 4 3 = 10
  2........ 根据上述规律,第 n 个等式为
  13、已知 f (x ) 为 R 上的奇函数, f ( ?
  4) = 0, 且在[0,3]和 [3,+∞ ) 上分别为递减和递增,则不等式
( x 2 ?
  4) f ( x) < 0 的解集为

  14、对于各数互不相等的正数数组 (i1 , i 2 , ? , in ) ( n 是不小于 2 的正整数) ,如果在 p < q 时有 数”。例如,数组 (2,4,3,
  1) 中有逆序“
  2,
  1”,“
  4,
  3”,“
  4,
  1”,“
  3,
  2”,其“逆序数”等于
  4。若各 数互不相等的正数数组 (a1 , a 2 , a 3 , a 4 , a5 , a 6 ) 的“逆序数”是
  2, (a 6 , a 5 , a 4 , a3 , a 2 , a1 ) 的“逆序数” 则 是 二、解答题
  15、已知 a = (cos α , sin α ), b = (cos β , sin β ) .
i p > iq ,则称 i p 与 i q 是该数组的一个“逆序”,一个数组中所有“逆序”的个数称为此数组的“逆序

  1)若 α ? β = (
  2)若 a ? b =
π
6
, 求 a ? b 的值
4 π , α = ,求 tan(α + β ) 5 8
2 2

  16、设命题 p : 实数 x 满足 x ? 4ax + 3a < 0 ,其中 a > 0 ,命题 q : 实数 x 满足 ? (
  1)若 a = 1, p ∧ q 为真,求实数 x 的取值范围 (
  2)若 ?p 为 ?q 的充分不必要条件,求实数 a 的取值范围
?x 2 ? x ? 6 ≤ 0 ? ?x 2 + 2x ? 8 > 0 ?

  18、(2010 年沈阳市模拟)在数列{an}中,a
  1=1,3anan-
  1+an-an-
  1=0(n≥
  2,n∈N). 1 (
  1)试判断数列{ }是否成等差数列; an 1 (
  2)设{bn}满足 bn= ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn; an 1 (
  3)若 λan+ ≥λ 对任意 n≥2 的整数恒成立,求实数 λ 的取值范围. a n+ 1
  19、已知函数 f(x)=-x
  3+ax
  2+1(a∈R). 2 (
  1)若在 f(x)的图象上横坐标为 的点处存在垂直于 y 轴的切线,求 a 的值; 3 (
  2)若 f(x)在区间(-2,
  3)内有两个不同的极值点,求 a 的取值范围; (
  3)在(
  1)的条件下,是否存在实数 m,使得函数 g(x)=x
  4-5x
  3+(
  2-m)x
  2+1 的图象与函数 f(x) 的图象恰有三个交点?若存在,求出实数 m 的值,若不存在,说明理由.
  20、已知,数列 a n 有 a1 = a, a 2 = p (常数 p > 0 ) ,对任意的正整数 n, S n = a1 + a2 + ? + an , 并有 S n 满足 S n = (
  1)求 a 的值; (
  2)试确定数列 a n 是不是等差数列,若是,求出其通项公式。若不是,说明理由;
n n
{ }
n(a n ? a1 ) 。 2
{ } (
  3)对于数列 { } ,假如存在一个常数 b 使得对任意的正整数 n 都有 b b { }
< b 且 lim bn = b ,则称
n →∞
b 为数列 bn 的 “上渐进值”,令 p n =
值”。
  1、6
  2、 10
  8、 14 3
  9、 2
  3、 (1,+∞)
  10、 4 ,
  2) (-
S n+ 2 S n+1 + ,求数列 {p1 + p 2 + ? + p n ? 2n} 的“上渐进 S n +1 S n + 2

  4、6

  5、18 π
  11、 , [ π] 3

  6、9

  7、
3 3 3 3

  12、 + 2 + 3 + .... + n = [ 1

  13、 ( ?∞,?
  4) ∪ ( ?2,
  0) ∪ ( 2,
  4)
n(n +
  1) 2 ] 2

  14、13

  15、解:(
  1)
3 2
(
  2) tan(α + β ) =7 或者
1 7
1 1
  18、解:(
  1)由已知可得 - =3(n≥
  2), a n a n- 1 1 故数列{ }是等差数列. an (
  2)由(
  1)的结论可得 bn=
  1+(n-
  1)×
  3,所以 bn=3n-
  2, n(
  1+3n-
  2) n(3n-
  1) ∴Sn= = . 2 2 1 1 1 (
  3)将 an= = 代入 λan+ ≥λ 并整理得 bn 3n-2 a n+ 1 1 λ(
  1- )≤3n+
  1, 3n-2 (3n+
  1)(3n-
  2) ∴λ≤ ,原命题等价于该式对 n≥2 恒成立. 3n-3 (3n+
  1)(3n-
  2) , 设 Cn= 3n-3 (3n+
  1)(3n-
  4) >
  0,Cn+1>Cn, 则 Cn+
  1-Cn= 3n(n-
  1) 28 28 ∵n=2 时,Cn 的最小值 C2 为 ,∴λ 的取值范围是(-∞, ] 3 3 2
  19、解:(
  1)依题意,f′( )=
  0,∵f′(x)=-3x
  2+2ax, 3 22 2 ∴-
  3×( ) +2?a? =
  0,∴a=
  1. 3 3 (
  2)若 f(x)在区间(-2,
  3)内有两个不同的极值点, 则方程 f′(x)=0 在区间(-2,
  3)内有两个不同的实根,
?f′(-
  2)<
  0, ? ∴?f′(
  3)<
  0, ?-2<a<
  3, ? 3
?>
  0,
9 解得-3<a< 且 a≠
  0. 2
当 a=0 时,f(x)=-x
  3+1 无极值点, 9 ∴a 的取值范围为(-3,
  0)∪(
  0, ). 2 (
  3)在(
  1)的条件下,a=
  1,要使函数 f(x)与 g(x)=x
  4-5x
  3+(
  2-m)x
  2+1 的图象恰有三个交点,等 价于方程-x
  3+x
  2+
  1=x
  4-5x
  3+(
  2-m)x
  2+
  1, 即方程 x2(x
  2-4x+
  1-m)=0 恰有三个不同的实根. ∵x 2 =0 是一个根,∴应使方程 x -4x+
  1-m=0 有两个非零的不等实根,由 ?=
  16-4(
  1-m)>
  0,且 1 -m≠
  0,解得 m>-
  3,且 m≠
  1, ∴存在 m∈(-3,
  1)∪(
  1, +∞), 使函数 f(x)与 g(x)=x
  4-5x
  3+(
  2-m)x
  2+1 的图象恰有三个交点.

  20、解: (
  1)由已知,得 s1 = (
  2)由 a1 = 0 得 S n =
1 ? (a ? a) = a1 = a , ∴ a = 0 ………………………3 分 2
na n (n +
  1)a n +1 , 则 S n +1 = ,∴ 2( S n +1 ? S n ) = ( n +
  1) a n +1 ? na n ,即 2 2
2a n +1 = (n +
  1)a n +1 ? na n ,于是有 (n ?
  1)a n +1 = na n ,并且有 na n+ 2 = (n +
  1)a n +1 ,
∴ na n + 2 ? (n ?
  1) a n +1 = ( n +
  1) a n +1 ? na n , 即 n( a n + 2 ? a n +1 ) = n( a n +1 ? a n ) , 而 n 是正整数,则对任意 n ∈ N 都有 a n + 2 ? a n +1 = a n +1 ? a n , ∴数列 {a n } 是等差数列,其通项公式是 a n = ( n ?
  1) p 。………………9 分
n(n ?
  1) p (
  3)∵ S n = ∴ pn = 2
(n +
  2)(n +
  1) p (n +
  1)np 2 2 2 2 + = 2+ ? (n +
  1)np (n +
  2)(n +
  1) p n n+2 2 2
∴ p1 + p 2 + p 3 + ? + p n ? 2n = (2 + ? ) + (2 + ? ) +? + (2 +
2 2 1 3
2 2 2 4
2 2 ? ) ? 2n n n+2
= 2 +1?
2 2 ;由 n 是正整数可得 p1 + p 2 + ? + p n ? 2n < 3 , ? n +1 n + 2
并且有 lim ( p1 + p 2 + ? + p n ? 2n) = 3 ,
n →∞
∴ 数列 {p1 + p 2 + ? + p n ? 2n} 的“上渐进值”等于
  3。……………………16
 

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