高三数学 一轮 导数



导数及其应用
知识点复习 1 变化率与导数、导数的计算 变化率与导数、

  1.
  1.导数的概念:函数 y= f (x) 的导数 f ′(x) ,就是当 x → 0 时,函数的增量 y 与自变量的增量 x 的比 .
y 的 x
,即 f ′( x) =


  1.
  2.导函数:函数 y= f ( x) 在区间(a, b)内 . 的导数都存在,就说 f ( x) 在区间( a, b )内 ,其导 ′( x) 或 y′ ,函数 f ( x ) 的导函数 f ′( x) 在 x = x0 时的函 数也是(a ,b )内的函数,叫做 f ( x ) 的 ,记作 f x 数值 ,就是 f ( x ) 在 x0 处的导数.
  1.
  3.导数的几何意义:设函数 y= f ( x) 在点 x0 处可导,那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点 . . M ( x0 , y0 ) 处的
  1.
  4.求导数的方法 .
  1.
  4.1 八个基本求导公式
(C ) ′ =

( x n )′ =
;(n∈Q)
(sin x)′ = (e x )′ = (ln x)′ =
, (cos x )′ = ,
(a x )′ =
, (log a x)′ =

  1.
  4.2 导数的四则运算 (u ± v )′ = [Cf ( x)]′ =
(uv)′ =
, ( u )′ = v
( v ≠
  0)

  1.
  4.3 复合函数的导数 设 u = θ ( x) 在点 x 处可导, y = f (u ) 在点 u = θ ( x) 处可导,则复合函数 f [θ ( x)] 在点 x 处可导, 且 f ′( x) ′ x = ,即 y ′ = y u u ′ . x
2 导数的概念及性质

  2.
  1. 函数的单调性 . ⑴ 函数 y= f ( x) 在某个区间内可导,若 f ′( x) >
  0,则 f ( x ) 为 (逆命题不成立) (
  2) 如果在某个区间内恒有 f ′( x) = 0 ,则 f ( x) . ;若 f ′(x ) <
  0,则 f ( x ) 为 .
注:连续函数在开区间和与之相应的闭区间上的单调性是一致的. (
  3) 求可导函数单调区间的一般步骤和方法: ① 确定函数 f ( x) 的 ;② 求 f ′( x) ,令 ,解此方程,求出它在定义区间内的一切实根; ③ 把函数 f ( x) 的间断点(即 f ( x) 的无定义点)的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来, 然后用这些点把函数 f ( x) 的定义区间分成若干个小区间;④ 确定 f ′( x) 在各小开区间内的 ,根据 f ′( x) 的符号判定函数 f ( x) 在各个相应小开区间内的增减性.
  2.
  2.可导函数的极值 . ⑴ 极值的概念 设函数 f ( x) 在点 x0 附近有定义,且对 x0 附近的所有点都有 一个极大(小)值.称 x0 为极大(小)值点.
(或
) ,则称 f ( x 0 ) 为函数的
⑵ 求可导函数极值的步骤: ;③ 检验 f ′( x) 在方程 f ′( x ) =0 的根左右的符号,如果在 ① 求导数 f ′( x) ;② 求方程 f ′( x ) =0 的 根的左侧附近为正,右侧附近为负,那么函数 y= f ( x) 在这个根处取得 ;如果在根的左侧附近为
负,右侧为正,那么函数 y= f (x) 在这个根处取得
. 有

  2.
  3.函数的最大值与最小值: . ⑴ 设 y= f ( x ) 是定义在区间[a ,b ]上的函数,y= f (x) 在(a ,b )内有导数,则函数 y= f (x) 在[a ,b ]上 最大值与最小值;但在开区间内 (
  2) 求最值可分两步进行: ① 求 y= f (x) 在(a ,b )内的 有最大值与最小值. 值;② 将 y= f (x) 的各
值与 f (a) 、 f (b) 比较,其中最大的一 ;若函数 y=
个为最大值,最小的一个为最小值. (
  3) 若函数 y= f (x) 在[a ,b ]上单调递增,则 f (a) 为函数的 , f (b) 为函数的 , f (b) 为函数的 . f ( x ) 在[a ,b ]上单调递减,则 f (a ) 为函数的
3 例题讲解

  1. 求下列各函数的导数: (
  1) y =
x + x 5 + sin x x2 ;

  2) y = ( x +
  1)( x +
  2)( x +
  3);
x x (
  3) y = sin 1 2 cos2 ; 2 4

  4) y =
2
1 1 x
+
1 1+ x
.
(
  5)y=sin (2x+
π
3
); 2 或
1 4

  2. 若直线 y=kx 与曲线 y=x3-3x2+2x 相切,则 k=
. . .

  3.若函数 f(x)=x3-ax2+1 在(
  0,
  2)内单调递减,则实数 a 的取值范围为 a≥3 例
  4.函数 f(x)=x3-ax2-bx+a2,在 x=1 时有极值
  10,则 a、b 的值为 a=-4,b=11 2 6 例
  5.已知函数 f(x)的导函数为 f ′( x ) ,且满足 f(x)=3x +2x f ′(
  2) ,则 f ′(
  5) = 例
  6.若 f(x)=x3+3ax2+3(a+
  2)x+1 没有极值,则 a 的取值范围为 例
  7:已知曲线 y= x3 + . : (
  1)求曲线在 x=2 处的切线方程; (
  2)求曲线过点(
  2,
  4)的切线方程. 例 8 求函数 y=x4-2x2+5 在区间[-2,
  2]上的最大值与最小值. 例
  9:设函数 f ( x) = ax + :
1 3 4 3
[-
  1,
  2]
.
1 (a,b∈Z),曲线 y = f (x) 在点 (2, f (
  2)) 处的切线方程为 y=
  3. x+b

  1)求 f (x) 的解析式; (
  2)证明:曲线 y = f (x) 上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值,并求出此定值. 例
  10. 已知 f(x)=ex-ax-
  1. (
  1)求 f(x)的单调增区间; (
  2)若 f(x)在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围; (
  3)是否存在 a,使 f(x)在(-∞,
  0]上单调递减,在[
  0,+∞)上单调递增?若存在,求出 a 的值;若不 存在,说明理由. 例
  11. 已知函数 f(x)=x +ax +bx+c,曲线 y=f(x)在点 x=1 处的切线为 l:3x-y+1=
  0,若 x= 时,y=f(x)有极 值. (
  1)求 a,b,c 的值; (
  2)求 y=f(x)在[-
  3,
  1]上的最大值和最小值. 例
  12. 某分公司经销某种品牌产品,每件产品的成本为 3 元,并且每件产品需向总公司交 a 元(
  3≤a≤
  5)
3 2
2 3
的管理费,预计当每件产品的售价为 x 元(
  9≤x≤
  11)时,一年的销售量为(12-x)2 万件. (
  1)求分公司一年的利润 L(万元)与每件产品的售价 x 的函数关系式; (
  2)当每件产品的售价为多少元时,分公司一年的利润 L 最大,并求出 L 的最大值 Q(a)
4 练习题

  1.曲线 y = 2 x x 在点(
  1,
  1)处的切线方程为
3
.

  2.设函数 f ( x ) = cos
(
3 x + ( 0 < < π ) 。若 f ( x ) + f / ( x ) 是奇函数,则 = 。
)

  3.曲线 y=x3 在点(1,
  1)处的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形的面积为\_ \_. .
  4.等边三角形的高为 8cm 时, 面积对高的变化率为 3 2
  5. 已知 f(x)=2x -6x +a (a 是常数) [-
  2, 上有最大值
  3, 在
  2] 那么在 [-
  2, 上 f(x)
  2] 的最小值是
  6.函数 f ( x) = x + 4 x + 5 的图像在 x = 1 处的切线在 x 轴上的截距为。
3
.

  7.曲线 y =
1 和 y = x 2 在它们交点处的两条切线与 x 轴所围成的三角形面积是 x
.

  8.已知函数 f ( x ) = ax 3 + bx 2 + cx 在点 x0 处取得极大值
  5,其导函数 y = f ′( x ) 的图象经过点(
  1,
  0) , (Ⅱ)a,b,c 的值. (
  2,
  0) ,如图所示,求: (Ⅰ) x0 的值;

  9.抛物线 y=ax
  2+bx 在第一象限内与直线 x+y=4 相切.此抛物线与 x 轴所围成的图形的面积记为 S.求 使 S 达到最大值的 a、b 值,并求 Smax.
  10.偶函数 f(x)=ax4+bx3+cx2+dx+e 的图象过点 P(
  0,
  1) ,且在 x=1 处的切线方程为 y=x-
  2,求 y=f (x)的解析式.
  11.设 a>0,函数 f(x)=
ax + b ,b 为常数. x2 +1

  1)证明:函数 f(x)的极大值点和极小值点各有一个; (
  2)若函数 f(x)的极大值为
  1,极小值为-
  1,试求 a 的值.
 

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