高一数学必修2 解析几何初步单元练习



高一数学必修 2 解析几何初步-苏教版 解析几何初步一、填空题
y x ? 2 = 1 在 y 轴上的截距是。 2 a b z
  2.如果直线 l 上的一点 A 沿 x 轴负方向平移 3 个单位,再沿 y 轴正方向 平移1个单位后,又回到直线 l 上,则 l 的斜率是。

  1.直线
  3. 结晶体的基本单位称为晶胞,如图是食盐晶胞的示意图。其中绿 色实 点代表钠原子,黑点?代表氯原子。建立空间直角坐标系 O?xyz 后, 图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是。
  4. 已知直线 mx + ny + 1 = 0 平行于直线 4 x + 3 y + 5 = 0 ,且在 y x 轴上的截距为
O
y
1 ,则 m,n 的值。 3
  5. 已知点 P(
  0,-
  1) ,点 Q 在直线 x ? y + 1 = 0 上,若直线 PQ 垂直于直线 x + 2 y ? 5 = 0 ,
则点 Q 的坐标是。
  6.已知直线 mx + 4 y ? 2 = 0 与 2 x ? 5 y + n = 0 互相垂直,垂足为 (1 , p ) 则 m ? n + p = 。

  7. 已知两点 A(1 ,?
  1) 、B (3 ,
  3) , C (5 ,a ) 在直线 AB 上, 点 则实数 a 的值是。
  8. 直线 x ? 2 y + b = 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么 b 的取值范围是
  9.直线 3 x + y ? 2 3 = 0 截圆 x 2 + y 2 = 4 所得的劣弧所对的圆心角为
2 2


  10.平行于直线 2 x ? y + 1 = 0 且与圆 x + y = 5 相切的直线的方程是。
  11.若 P ( x , y ) 在圆 ( x ? 2 ) + y 2 = 3 上运动,则
2
y 的最小值等于。 x?4
  12.光线沿直线 y = 2 x + 1 射到直线 y = x 上,被 y = x 反射后的光线所在的直线方程
为。
  13.已知圆 C : ( x ? a ) + ( y ? 2 ) = 4 (a > 0 ) 及直线 l : x ? y + 3 = 0 ,当直线 l 被圆 C 截得
2 2
的弦长为 2 3 时, a = 。
  14.直线 l 与圆 x 2 + y 2 = 1 相切,并且在两坐标轴上的截距之和等于 3 ,则直线 l 与两坐标 轴围成的三角形的面积等于。 二、解答题
  15.已知一条直线经过两条直线 l1 : 2 x ? 3 y ? 4 = 0 和 l 2 : x + 3 y ? 11 = 0 的交点,并且垂直于这 个交点和原点的连线,求此直线方程。

  16.已知点 A(1,
  4) ,B(6,
  2) ,试问在直线 x ? 3 y + 3 = 0 上是否存在点 C ,使得三角形
?ABC 的面积等于
  14?若存在,求出 C 点坐标;若不存在,说明理由。

  17.一个圆切直线 l1 : x ? 6 y ? 10 = 0 于点 P (4,?
  1) ,且圆心在直线 l 2 : 5 x ? 3 y = 0 上,求该圆的 方程。

  18.氟利昂是一种重要的化工产品,它在空调制造业有着巨大的市场价值.已知它的市场需 、市场供应量 y 2 (吨)与市场价格 x (万元/吨)分别近似地满足下列关系: 求量 y1 (吨)
y1 = ? x + 70 ,
y 2 = 2 x ? 20
当 y1=y2 时的市场价格称为市场平衡价格.此时的需求量称为平衡需求量. (
  1)求平衡价格和平衡需求量; (
  2)科学研究表明,氟利昂是地球大气层产生臭氧空洞的罪魁祸首, 《京都议定书》要求缔约 国逐年减少其使用量.某政府从宏观调控出发,决定对每吨征税 3 万元,求新的市场平衡价格 和平衡需求量.

  19.已知圆 C : x + y ? 2 x + 4 y ? 4 = 0 ,是否存在斜率为 1 的直线 m ,使以 m 被圆 C 截
2 2
得的弦 AB 为直径的圆过原点?若存在,求出直线 m 的方程;若不存在,说明理由。

  20.已知方程 x 2 + y 2 ? 2 x ? 4 y + m = 0 。 (
  1)若此方程表示圆,求 m 的取值范围; (
  2)若(
  1)中的圆与直线 x + 2 y ? 4 = 0 相交于 M 、 N 两点,且 OM ⊥ ON ( O 为坐标原 点) ,求 m ; (
  3)在(
  2)的条件下,求以 MN 为直径的圆的方程。
参考答案
一、填空题
  1. ? b 2
1 1 , ,
  1) 4 . m = 4 和 n = ?3
  5. (
  2,
  3)
  6.20 2 2 7 . a = 7 8 . b ∈ [? 2,0 ) ∪ (0,2]
  9.
  60°
  10. 2x-y+5=0 或 2x-y-5=0 1 1 3
  11. 3
  12. y = x ?
  13. 2 ? 1
  14. 2 2 2

  2.-
  3. (
1 3
解答题
  15. 设交点为 P, 由方程组 ?
?2 x ? 3 y ? 4 = 0 2 解得 P (
  5, .故 kOP = .设所求直线的斜率为 k ,
  2) 5 ? x + 3 y ? 11 = 0
1 5 5 = ? ,所以所求直线的方程为 y ? 2 = ? ( x ?
  5) ,即 kOP 2 2
由于它与直线 OP 垂直,则 k = ?
5 x + 2 y ? 29 = 0 .
y?2 x?6 = ,即 2 x + 5 y ? 22 = 0 , 4 ? 2 1? 6 假设在直线 x-3y+3=0 上是否存在点 C, 使得三角形 ABC 的面积等于
  14, C 的坐标为 (m, n) , 设

  16. AB= (1 ?
  6) + (4 ?
  2) =
2 2
29 ,直线 AB 的方程为
则一方面有 m-3n+3=
  0①,另一方面点 C 到直线 AB 的距离为 d =
| 2m + 5n ? 22 | ,由于三角形 29
ABC 的面积等于
  14,则
1 1 | 2m + 5n ? 22 | ? AB ? d = ? 29 ? = 14 , | 2m + 5n ? 22 |= 28 ,即 2 2 29
135 56 , = n ; 联立①③解得 m = ?3 , 11 11
2m + 5n = 50 ②或 2m + 5n = ?6 ③.联立①②解得 m = n=
  0.
135 56 , ) 或 (?3,
  0) ,使得三角形 ABC 的面积等于
  14. 11 11
  17.过点 P (4,?
  1) 且与直线 l1 : x ? 6 y ? 10 = 0 垂直的直线的方程设为 6 x + y + C = 0 ,点 P 的 坐标代入得 C = ?23 ,即 6 x + y ? 23 = 0 . 设所求圆的圆心为为 M ( a, b) ,由于所求圆切直线 l1 : x ? 6 y ? 10 = 0 于点 P (4,?
  1) ,则满足 6a + b ? 23 = 0 ①;又由题设圆心 M 在直线 l 2 : 5 x ? 3 y = 0 上,则 5a ? 3b = 0 ②.联立①②解
综上,在直线 x-3y+3=0 上存在点 C ( 得 a = 3 , b = 5 .即圆心 M(
  3,
  5) ,因此半径 r =PM= (4 ?
  3) + ( ?1 ?
  5) =
2 2
37 ,所求圆
的方程为 ( x ?
  3) 2 + ( y ?
  5) 2 = 37 .
  18. (
  1)由 y1 = y2 得 ? x + 70 = 2 x ? 20 ,∴ x = 30 ,此时 y1 = y2 = 40 ,平衡价格为 30 万 元/吨,平衡需求量为 40 吨. (
  2)设新的平衡价格为 t 万元/吨,则 y1 = ?t + 70 , y2 = 2(t ?
  3) ? 20 = 2t ? 26 ,由 y1 = y2 得 ?t + 70 = 2t ? 26 ,∴ t = 32 ,此时 y1 = y2 =
  38,即新的平衡价格为 32 万元/吨,平衡需求 量为 38 吨.
  19.设这样的直线存在,其方程为 y = x + b ,它与圆 C 的交点设为 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) ,
则由 ?
? x2 + y 2 ? 2 x + 4 y ? 4 = 0 ?y = x +b
得 2 x 2 + 2(b +
  1) x + b 2 + 4b ? 4 = 0 (*) ,
? x1 + x2 = ?(b +
  1) ? 2 ∴? b 2 + 4b ? 4 .∴ y1 y2 = ( x1 + b)( x2 + b) = x1 x2 + b( x1 + x2 ) + b . ? x1 ? x2 = 2 ?
由 OA⊥OB 得 x1 x2 + y1 y2 = 0 ,∴ 2 x1 x2 + b( x1 + x2 ) + b = 0 ,
2
即 b 2 + 4b ? 4 ? b(b +
  1) + b 2 = 0 , b + 3b ? 4 = 0 ,∴ b = 1 或 b = ?4 .
2
x1 x 2 = 16 ? 8( y1 + y 2 ) + 4 y1 y 2 ,∵ OM ⊥ ON ,∴ x1 x2 + y1 y = 0 ∴ 16 ? 8( y1 + y 2 ) + 5 y1 y 2 = 0 , x = 4 ? 2y ? 由? 2 ,得 5 y 2 ? 16 y + m + 8 = 0 2 ?x + y ? 2x ? 4 y + m = 0 16 8+m 8 1 ∴ y1 + y 2 = , y1 y 2 = 。代入○得 m = 。 5 5 5 (
  3)以 MN 为直径的圆的方程为 (x ? x1 )(x ? x 2 ) + ( y ? y1 )( y ? y 2 ) = 0 即 x 2 + y 2 ? (x1 + x 2 )x ? ( y1 + y 2 ) y = 0 8 16 ∴ 所求圆的方程为 x 2 + y 2 ? x ? y = 0 5 5

  2)设 M ( x1 , y1 ) , N ( x 2 , y 2 ) , 则 x1 = 4 ? 2 y1 , x 2 = 4 ? 2 y 2 , 得

  21.解(
  1) ( x ?
  1) + ( y ? 2 ) = 5 ? m ,∴ m < 5
2 2
容易验证 b = 1 或 b = ?4 时方程(*)有实根.故存在这样的直线,有两条,其方程是 y = x +1或 y = x ? 4
 

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