高一数学必修4课件 1.2 任意角的三角函数 1 人教版



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复习回顾
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在初中我们是如何定义锐角三角函数的? 在初中我们是如何定义锐角三角函数的?
P c
a
sin α =
cos α =
tan α =
O
α
b
M
a c b c a b
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新课引入
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  1.在直角坐标系中如何用角的终边上点的坐标表示锐角 在直角坐标系中如何用角的终边上点的坐标表示锐角 三角函数? 三角函数?
P
a
O y
α
b
M
x
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  1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数? 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数? 在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数
其 : 中 OM = a MP = b OP = r = a2 + b2
y
M P b = si α = n O P r
O M a cosα = = O P r
?P (a , b )
α
M P b tan α = = O M a
o
?
M
x
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诱思探究
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如果改变点P在终边上的位置, 三个比值会改变吗 如果改变点P在终边上的位置,这三个比值会改变吗?
y
? OMP ∽ ? O M ′P ′
P′
P(a,b)
?
M
MP sin α = OP
OM cos α = OP
x
α
O
M ′P ′ = OP′ ′ OM = OP′
M′
MP = M ′P′ tan α = OM ′ OM
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能否通过|op|取特殊值将表达式简化呢? 取特殊值将表达式简化呢? 能否通过 取特殊值将表达式简化呢
若 OP = r =
  1,则以原点为圆心,以单位 以原点为圆心,
Y
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长度为半径的圆叫做单 位圆. 位圆.
P(a,b)
MP sin α = OP
OM cos α = OP
=b
α
O M X
=a b MP tan α = = OM a
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  2.任意角的三角函数定义 任意角的三角函数定义
是一个任意角, 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P ( x , y ) 那么:( ) 的正弦, 那么 (
  1)y 叫做 α 的正弦,记作 sin α 即 ,
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sin α = y;
y α 的正切,记作 tan α ,即 tanα = y (x ≠
  0) 。 (
  3) 叫做 的正切, ) x x α的终边 α的终边
y
的余弦, (
  2)x 叫做 α 的余弦,记作 cos α 即 ) ,
cosα = x ;
P(x, y) ?
O
所以,正弦,余弦, 所以,正弦,余弦,正切都是 角为自变量, 单位圆上点的 上点的坐 以角为自变量,以单位圆上点的坐 标或坐标的比值为函数值的函数 为函数值的函数, 标或坐标的比值为函数值的函数, x 我们将他们称为三角函数 三角函数. A(1,
  0) 我们将他们称为三角函数
使比值有意义的角的集合 即为三角函数的定义域. 即为三角函数的定义域
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实例剖析 金太阳教育网
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  1:如图已知角 的终边与单位圆的交点是 , P ( ? 1 , 3 ) :如图已知角α的终边与单位圆的交点是 2 2 求角α的正弦 余弦和正切值。 的正弦、 求角 的正弦、余弦和正切值。 解:根据任意角的三角函数定义: 根据任意角的三角函数定义
y
1 3 P (? , ) 2 2
3 sin α = 2
tan α = ? 3
1 cos α = ? 2
O
x
点评:若已知角 的终边与单位圆的交点坐标 的终边与单位圆的交点坐标, 点评:若已知角α的终边与单位圆的交点坐标,则可直接利用 定义求三角函数值。 定义求三角函数值。
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例2

π 的正弦、余弦和正切值 的正弦、余弦和正切值.
3
1 ? 3 ) ( , 2 2
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3 5π ,易知 ∠ AOB 在直角坐标系中, 解:在直角坐标系中,作 ∠AOB =

的终边与单位圆的交点坐标为 5π ? 3 5π 1 cos = = 所以 sin 3 2 3 2 y
5 π 3
5π tan =? 3 3

o
?
A
x
?B
点评:若已知角 的大小 可求出角α终边与单位圆的交点 的大小, 终边与单位圆的交点, 点评:若已知角α的大小,可求出角 终边与单位圆的交点, 然后再利用定义求三角函数值。 然后再利用定义求三角函数值。 9
) 例3 已知角 α 的终边经过点 P (?3,?
  4,求角 0 和正切值 . 解:由已知可得 OP0 = ( ?
  3) 2 + ( ? 4 ) 2 = 5 由已知可得
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α
品质来自专业 信赖源于诚信 的正弦、 的正弦、余弦
y
设角 α 的终边与单位圆交于 P ( x , y ) , P 分别过点 P 、 0 作 x 轴的垂线 MP M 0 P0 、
M0P = 4 0
OM0 = 3 ? OMP ∽ ? OM 0 P0
OM = ? x MP = ? y
M0
M
O
P( x, y)
x
P (? 3,?
  4) 0
M 0 P0 y ? | MP | 4 于是, 于是,sin α = y = = = ? = ? ; 1 OP OP 0 5
? OM OM 0 x 3 cos α = x = = = ? = ? ; 1 OP OP 0 5 y sin α 4 tan α = = = x cos α 3
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点评:已知角终边上异于单位圆上一点的坐标, 点评:已知角终边上异于单位圆上一点的坐标,求三角函数 可根据三角形相似将问题化归到单位圆上, 值,可根据三角形相似将问题化归到单位圆上,再由定义得 解。
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定义推广: 定义推广:
是一个任意角, 是终边上的任意一点, 设角 α 是一个任意角,P(x, y)是终边上的任意一点,
r = x2 + y2 > 0 点 P 与原点的距离 y y 那么① 那么① 叫做 α 的正弦,即 sin α = 的正弦, r r
x x 的余弦, ② r 叫做 α 的余弦,即 cosα = r y α 的正弦,即 tanα = y (x ≠
  0) ③ x 叫做 的正弦, x
任意角 α的三角函数值仅与 边上的位置无关. 边上的位置无关
α有关,而与点 P 有关, 在角的终
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巩固提高
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2 2 , ) 求角α的 练习1 已知角α 练习
  1:已知角α的终边经过点 P (? ,求角α 2 2 正弦、余弦和正切值。 正弦、余弦和正切值。

  2.利用三角函数的定义求 利用三角函数的定义求 的三个三角函数值 6 7π 1 si n =? , 6 2 7π ? 3 cos = , 6 2 7π 3 tan = 6 3
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练习
  3. 练习 已知角 θ 的终边过点 P(?12,
  5) , 求
θ 的三个三角函数值 的三个三角函数值.
2 2
解:由已知可得: 由已知可得:
r= x +y =
y 5 于是, sin θ = = r 13
y 5 tanθ = = ? x 12
(?
  12)
2
+ 52 =13
x 12 cosθ = = ? r 13
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探究: 探究:
sin α cos α tan α
( (
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品质来自专业 信赖源于诚信 定义域 值域

  1.三角函数的定义域和值域 三角函数的定义域和值域
三角函数
? ? α α ≠ kπ + , k ∈Z? ? 2 ? ?
R Rπ
[?1,1] [?1,1] R
( (
+) +
o
y

  2.三角函数值在各象限的符号 三角函数值在各象限的符号 y

x
?) ( +)
o
?)
o
y

+)
x
?)( ?)
sin α

?) ( +) cos α
x
) +tan ( ?) α
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求证:当且仅当下列不等式组成立时, 例3 求证:当且仅当下列不等式组成立时, 角
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② 证明: 证明: 因为① 成立,所以 因为①式 sin θ < 0 成立 所以 θ 角的终边可能位于第三 或 第四象限,也可能位于y 轴的非正半轴上; 第四象限,也可能位于 轴的非正半轴上; 又因为② 成立, 又因为②式 tan θ > 0 成立,所以角 θ 的终边可能位于第 一或第三象限. 一或第三象限 因为①②式都成立, ①②式都成立 的终边只能位于第三象限. 因为①②式都成立,所以角 θ 的终边只能位于第三象限 为第三象限角. 于是角 θ 为第三象限角 反过来请同学们自己证明. 反过来请同学们自己证明
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θ 为第三象限角 反之也对。 为第三象限角.反之也对 反之也对。 ?sin θ < 0 ? ? tanθ > 0

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1 下列各式为正号的是( C) 下列各式为正号的是(
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A cos2 C tan2?cos2 ?
B cos2?sin2 ? D sin2?tan2 ?
2 若lg(sinα? α)有意义,则α是( C ) α?tanα 有意义 有意义, α? A 第一象限角 B 第四象限角 C 第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或x轴的正半轴 第一或第四象限角或 轴的正半轴 3 已知α的终边过点(3a-9,a+
  2),且cosα<0, 已知α的终边过点 且 α -2<a<3 sinα>0,则a的取值范围是 。 α 则 的取值范围是
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如果两个角的终边相同, 如果两个角的终边相同,那么这两个角的
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同一三角函数值有何关系? 同一三角函数值有何关系?
终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一) 终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一)
sin( α + k ? 2π ) = sin α cos(α + k ? 2π ) = cosα tan(α + k ? 2π ) = tanα
其中
k ∈z

0到 π (或 °到 °) 角的三角函数值 . 2 0 360
利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值,转化为
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确定下列三角函数值的符号: 例4 确定下列三角函数值的符号:
是第三象限角, ) 解: (
  1)因为 250 ° 是第三象限角,所以 cos 250 ° < 0 ; (
  2)因为 tan( ? 672 °) = tan( 48 ° ? 2 × 360 °) = tan 48 ° ) , 是第一象限角, 而 48 °是第一象限角,所以 tan( ? 672 °) > 0 ; π ? 是第四象限角,所以 sin ? ? π ? <
  0. ? ? 是第四象限角, (
  3)因为 ) 4 ? ? 4
? π? cos 2
  50°
  2) tan( ?6
  72°(
  3) sin ? ? ? ) ) (
  1) ) ( ) ? 4?
练习 确定下列三角函数值的符号
16 cos π 5
?
4π ) sin( ? 3
tan( ?
+
?
17 π) 8
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求下列三角函数值: 例5 求下列三角函数值: 9π 11 π (
  1) cos 4 ) (
  2) tan( ? 6 ) )
9π π π 2 = cos( + 2π ) = cos = :(
  1) 解:( )cos 4 4 4 2 11 π π π π 3 tan( ) = tan( ? 2π ) = tan = tan = (
  2) ? ) 6 6 6 6 3
练习 求下列三角函数值
19π tan = 3
3
31 π tan( ? )= 4
1
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归纳总结
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  1. 内容总结: 内容总结: 任意角三角函数的概念. ①任意角三角函数的概念 三角函数的定义域、 ②三角函数的定义域、值域及三角函数值在各象限的 符号. 符号. 2 .方法总结: 方法总结: 方法总结 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 运用了定义法、公式法、数形结合法解题 3 .体现的数学思想: 体现的数学思想: 体现的数学思想 化归的思想,数形结合的思想. 化归的思想,数形结合的思想
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归纳总结
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  1. 内容总结: 内容总结: 三角函数的概念. ①三角函数的概念 三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号. ②三角函数的定义域及三角函数值在各象限的符号 诱导公式一. ③诱导公式一. 2 .方法总结: 方法总结: 方法总结 运用了定义法、公式法、数形结合法解题. 运用了定义法、公式法、数形结合法解题 3 .体现的数学思想: 体现的数学思想: 体现的数学思想 划归的思想,数形结合的思想. 划归的思想,数形结合的思想
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课后作业
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课本第20页 习题
  1.2 A组 3 、 4题.
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课后作业
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课本第20页 习题
  1.2 A组 4 、 5 、 7题.
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优秀教案----任意角的三角函数(1)

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