高一数学对数以及对数函数人教版



高一数学对数以及对数函数人教版 高一数学对数以及对数函数人教版 对数以及对数函数
【同步教育信息 同步教育信息】 同步教育信息
一. 本周教学内容： 对数以及对数函数 二. 学习目标：
　　1. 理解对数的概念，了解对数运算与指数运算的互逆关系。
　　2. 能正确利用对数性质进行对数运算。
　　3. 掌握对数函数的图象性质。
　　4. 理解指数函数与对数函数的互逆关系。 三. 重点、难点：
　　1. 对数 （
　　1）对数恒等式 ① log a a = b （ 0 < a ≠ 1 ）
b
② a
log a N
=N
③ log a a = 1 （
　　2）对数的运算性质 对于 0 < a ≠ 1 ，M > 0 ，N > 0 ，则 ① log a ( MN ) = log a M + log a N ② log a
④ log a 1 = 0
M = log a M ? log a N N n ③ log a M = n log a M （ n ∈ R ）
（
　　3）对数换底公式
log a b =
log c b （ a 、 c > 0 且 a ， c ≠
　　1） log c a
log a b
事实上，由 (log a b) ? (log c a ) = log c a
　　2. 对数函数图象和性质
= log c b ，则 log a b = 0 < a <1
log c b 。 log c a
a >1
y y=log ax
图 象
0
1
0
1
定义域（
　　0， + ∞ ） 性 质 值域（ ? ∞ ， + ∞ ） 当 x = 1 时， y = 0 ，过点（
　　1，
　　0） 在（
　　0，+ ∞ ）上是单调 递增函数 在（
　　0， + ∞ ）上是单 调递减函数
典型例题】 【典型例题】
[例 1] 计算：
（
　　1） lg 2 lg 50 + lg 20 lg 5 ? lg 100 lg 2 lg 5 （
　　2） [(1 ? log 6
　　3) + log 6 2 ? log 6 18] ÷ log 6 4
2
解： （
　　1）原式 = lg2(2 ? lg
　　2) + (1+ lg
　　2)( ? lg
　　2) ? 2lg2(1? lg
　　2) 1
= 2 lg2 ? (lg
　　2)2 +1 ? (lg
　　2)2 ? 2 lg2 + 2(lg
　　2)2 = 1
1 （
　　2）原式 = [1? 2log6 3 + (log
　　3) + (1? log6
　　3)( + log6
　　3)]÷ log6 4 6
2
= [1 ? 2 log6 3 + (log6
　　3) 2 +1 ? (log6
　　3) 2 ] ÷ log6 4
= 2(1 ? log 6
　　3) ÷ log 6 2 2 =
x
log 6 2 =1 log 6 2
y z
[例 2] 已知正实数 x 、 y 、 z 满足 3 = 4 = 6 ，试比较 3 x 、 4 y 、 6 z 的大小。 解：设 3 = 4 = 6 = t （ t > 1 ），则 x = log 3 t ， y = log 4 t ， z = log 6 t ，从而 3 lg t 4 lg t 3 lg 4 ? 4 lg 3 3 x ? 4 y = 3 log 3 t ? 4 log 4 t = ? = lg t lg 3 lg 4 lg 3 ? lg 4 lg t 故 3x < 4 y = (lg 4 3 ? lg 3 4 ) < 0 lg 3 ? lg 4 又由 4 y ? 6 z = 2(2 log 4 t ? 3 log 6 t ) = 2( 2 lg t ? 3 lg t ) = 2 lg t (2 lg 6 ? 3 lg
　　4) lg 4 lg 6 lg 4 ? lg 6
x y z
=
2 lg t (lg 6 2 ? lg 4 3 ) lg 4 ? lg 6
而 lg t > 0 ， lg 4 > 0 ， lg 6 > 0 ， lg 6 2 < lg 4 3 ，则上式 < 0 故 4 y < 6 z ，综上 3 x < 4 y < 6 z [例 3] 已知 m 和 n 都是不等于 1 的正数，并且 log m 5 > log n 5 ，试确定 m 和 n 的大小关系。 解：由 log m 5 > log n 5 ?
1 1 log 5 n ? log 5 m > ? >0 log 5 m log 5 n log 5 m ? log 5 n
?log 5 n ? log 5 m > 0 或 ?log 5 n ? log 5 m < 0 ?? ? ?log 5 m ? log 5 n > 0 ?log 5 m ? log 5 n < 0
?n > m 或 ?n < m ?? ? ?m > 1 , n > 1 ?0 < m < 1 , 0 < n < 1
综上可得 n >m>1或 0 < n < m < 1 或 0 < n < 1 < m 。 [例 4] 试求函数 f ( x ) =
x2 ? 4 的定义域。 lg( x 2 + 2 x ?
　　3)
? x ≤ ?2 或 x ≥ 2 ?x 2 ? 4 ≥ 0 ? 解：由 ? 2 ? ? x < ?3 或 x > 1 ?x + 2x ? 3 > 0 ? ? 2 ? x ≠ ?1 ± 5 ?lg( x + 2 x ?
　　3) ≠ 0
则所求定义域为（ ? ∞， ? 1 ? 5 ） ∪ （ ? 1 ? 5 ， ? 3 ） ∪ [2 , + ∞) [例 5]（
　　1）若函数 y = lg(ax 2 + ax +
　　1) 的定义域为实数集 R，求实数 a 的取值范围；（
　　2）若 函数 y = lg(ax 2 + ax +
　　1) 的值域是实数集 R，求实数 a 的取值范围。 解： （
　　1）由已知，则有 ax + ax + 1 > 0 恒成立 ? ?a = 0 或 ?a > 0 ?
2
? ?1 > 0
2 ?? = a ? 4 a < 0
（
　　2）已知等价于函数 ax 2 + ax + 1 的值域包含（
　　0， + ∞ ），故 ?a > 0 ? a ≥ 4 ?
?? ≥ 0
?
　　0≤a<4
[例 6] 已知函数 f ( x) = log a x ，当 0 < x1 < x 2 时，试比较 f (
x1 + x 2 )与 2
1 [ f ( x1 ) + f ( x 2 )] 的大小。 2
解： f ( x1 + x 2 ) ? 1 [ f ( x1 ) + f ( x 2 )] = log a x1 + x 2 ? 1 [log a x1 + log a x 2 ]
2 2 2 2
= log a
又由 0 < x1 <
x1 + x 2 ? log a 2
x1 x 2 = log a
x1 + x2 2 x1 x2
x 2 ，则 x1 + x 2 > 2 x1 x 2 ，即 x1 + x2 > 1 2 x1 x 2
x1 + x 2 2 x1 x 2 > 0 ，此时 f ( x1 + x 2 1 ) > [ f ( x1 ) + f ( x 2 )] 2 2 x1 + x 2 1 ) < [ f ( x1 ) + f ( x 2 )] 2 2
故① a > 1 时， log a
② 0 < a < 1 时， log a
x1 + x 2 2 x1 x 2
< 0 ，此时 f (
模拟试题】 【模拟试题】
10 = 。 2 2
　　2. 若 log 8 a + log 4 b = 5 ，且 log 8 b + log 4 a = 7 ，则 ab = 10
　　3. 已知 a > b > 1 ， log a b + log b a = ，则 log a b ? log b a = 3

　　1.
　　4. 函数 y = log 1
2
1 2 + lg 16 2
。 。
x 2 + 2 x ? 8 的递增区间为
。

　　5. 已知 f ( x ) = 2 + log 3 x ， x ∈ [1 , 9] ，求函数 y = [ f ( x )] 2 + f ( x 2 ) 的最大值及相应的
x 的值。
试题答案

　　1. 20
　　2. 512
8
　　3. ? 3

　　4. 解： y =
1 log 1 ( x 2 + 2 x ?
　　8) ，令 x 2 + 2 x ? 8 > 0 ? x < ?4 或 x > 2 2 2
2
由 u = x + 2 x ? 8 的递减区间为（ ? ∞ ， ? 4 ），（ u > 0 ） 则 y = log 1
2
x 2 + 2 x ? 8 的递增区间为（ ? ∞ ， ? 4 ）

　　5. 解： f ( x) = 2 + log 3 x
y = [ f ( x)]2 + f ( x 2 ) = (2 + log 3 x) 2 + 2 + log 3 x 2
= (log 3 x +
　　3) 2 ? 3
由 f (x ) 定义域为[
　　1，9]，则 ?
?1 ≤ x 2 ≤ 9 ?
　　1≤ x ≤ 3
　　1≤ x ≤ 9 ?
2
故 0 ≤ log 3 x ≤ 1 ，所以 6 ≤ y = (log 3 x +
　　3) ? 3 ≤ 13 当 log 3 x = 1 ，即 x = 3 时 y = 13 故当 x = 3 时，函数 y = [ f ( x )] 2 + f ( x 2 ) 取最大值
　　13。
 

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