高一数学对数以及对数函数人教版



高一数学对数以及对数函数人教版 高一数学对数以及对数函数人教版 对数以及对数函数
【同步教育信息 同步教育信息】 同步教育信息
一. 本周教学内容: 对数以及对数函数 二. 学习目标:
  1. 理解对数的概念,了解对数运算与指数运算的互逆关系。
  2. 能正确利用对数性质进行对数运算。
  3. 掌握对数函数的图象性质。
  4. 理解指数函数与对数函数的互逆关系。 三. 重点、难点:
  1. 对数 (
  1)对数恒等式 ① log a a = b ( 0 < a ≠ 1 )
b
② a
log a N
=N
③ log a a = 1 (
  2)对数的运算性质 对于 0 < a ≠ 1 ,M > 0 ,N > 0 ,则 ① log a ( MN ) = log a M + log a N ② log a
④ log a 1 = 0
M = log a M ? log a N N n ③ log a M = n log a M ( n ∈ R )

  3)对数换底公式
log a b =
log c b ( a 、 c > 0 且 a , c ≠
  1) log c a
log a b
事实上,由 (log a b) ? (log c a ) = log c a
  2. 对数函数图象和性质
= log c b ,则 log a b = 0 < a <1
log c b 。 log c a
a >1
y y=log ax
图 象
0
1
0
1
定义域(
  0, + ∞ ) 性 质 值域( ? ∞ , + ∞ ) 当 x = 1 时, y = 0 ,过点(
  1,
  0) 在(
  0,+ ∞ )上是单调 递增函数 在(
  0, + ∞ )上是单 调递减函数
典型例题】 【典型例题】
[例 1] 计算:

  1) lg 2 lg 50 + lg 20 lg 5 ? lg 100 lg 2 lg 5 (
  2) [(1 ? log 6
  3) + log 6 2 ? log 6 18] ÷ log 6 4
2
解: (
  1)原式 = lg2(2 ? lg
  2) + (1+ lg
  2)( ? lg
  2) ? 2lg2(1? lg
  2) 1
= 2 lg2 ? (lg
  2)2 +1 ? (lg
  2)2 ? 2 lg2 + 2(lg
  2)2 = 1
1 (
  2)原式 = [1? 2log6 3 + (log
  3) + (1? log6
  3)( + log6
  3)]÷ log6 4 6
2
= [1 ? 2 log6 3 + (log6
  3) 2 +1 ? (log6
  3) 2 ] ÷ log6 4
= 2(1 ? log 6
  3) ÷ log 6 2 2 =
x
log 6 2 =1 log 6 2
y z
[例 2] 已知正实数 x 、 y 、 z 满足 3 = 4 = 6 ,试比较 3 x 、 4 y 、 6 z 的大小。 解:设 3 = 4 = 6 = t ( t > 1 ),则 x = log 3 t , y = log 4 t , z = log 6 t ,从而 3 lg t 4 lg t 3 lg 4 ? 4 lg 3 3 x ? 4 y = 3 log 3 t ? 4 log 4 t = ? = lg t lg 3 lg 4 lg 3 ? lg 4 lg t 故 3x < 4 y = (lg 4 3 ? lg 3 4 ) < 0 lg 3 ? lg 4 又由 4 y ? 6 z = 2(2 log 4 t ? 3 log 6 t ) = 2( 2 lg t ? 3 lg t ) = 2 lg t (2 lg 6 ? 3 lg
  4) lg 4 lg 6 lg 4 ? lg 6
x y z
=
2 lg t (lg 6 2 ? lg 4 3 ) lg 4 ? lg 6
而 lg t > 0 , lg 4 > 0 , lg 6 > 0 , lg 6 2 < lg 4 3 ,则上式 < 0 故 4 y < 6 z ,综上 3 x < 4 y < 6 z [例 3] 已知 m 和 n 都是不等于 1 的正数,并且 log m 5 > log n 5 ,试确定 m 和 n 的大小关系。 解:由 log m 5 > log n 5 ?
1 1 log 5 n ? log 5 m > ? >0 log 5 m log 5 n log 5 m ? log 5 n
?log 5 n ? log 5 m > 0 或 ?log 5 n ? log 5 m < 0 ?? ? ?log 5 m ? log 5 n > 0 ?log 5 m ? log 5 n < 0
?n > m 或 ?n < m ?? ? ?m > 1 , n > 1 ?0 < m < 1 , 0 < n < 1
综上可得 n >m>1或 0 < n < m < 1 或 0 < n < 1 < m 。 [例 4] 试求函数 f ( x ) =
x2 ? 4 的定义域。 lg( x 2 + 2 x ?
  3)
? x ≤ ?2 或 x ≥ 2 ?x 2 ? 4 ≥ 0 ? 解:由 ? 2 ? ? x < ?3 或 x > 1 ?x + 2x ? 3 > 0 ? ? 2 ? x ≠ ?1 ± 5 ?lg( x + 2 x ?
  3) ≠ 0
则所求定义域为( ? ∞, ? 1 ? 5 ) ∪ ( ? 1 ? 5 , ? 3 ) ∪ [2 , + ∞) [例 5](
  1)若函数 y = lg(ax 2 + ax +
  1) 的定义域为实数集 R,求实数 a 的取值范围;(
  2)若 函数 y = lg(ax 2 + ax +
  1) 的值域是实数集 R,求实数 a 的取值范围。 解: (
  1)由已知,则有 ax + ax + 1 > 0 恒成立 ? ?a = 0 或 ?a > 0 ?
2
? ?1 > 0
2 ?? = a ? 4 a < 0

  2)已知等价于函数 ax 2 + ax + 1 的值域包含(
  0, + ∞ ),故 ?a > 0 ? a ≥ 4 ?
?? ≥ 0
?
  0≤a<4
[例 6] 已知函数 f ( x) = log a x ,当 0 < x1 < x 2 时,试比较 f (
x1 + x 2 )与 2
1 [ f ( x1 ) + f ( x 2 )] 的大小。 2
解: f ( x1 + x 2 ) ? 1 [ f ( x1 ) + f ( x 2 )] = log a x1 + x 2 ? 1 [log a x1 + log a x 2 ]
2 2 2 2
= log a
又由 0 < x1 <
x1 + x 2 ? log a 2
x1 x 2 = log a
x1 + x2 2 x1 x2
x 2 ,则 x1 + x 2 > 2 x1 x 2 ,即 x1 + x2 > 1 2 x1 x 2
x1 + x 2 2 x1 x 2 > 0 ,此时 f ( x1 + x 2 1 ) > [ f ( x1 ) + f ( x 2 )] 2 2 x1 + x 2 1 ) < [ f ( x1 ) + f ( x 2 )] 2 2
故① a > 1 时, log a
② 0 < a < 1 时, log a
x1 + x 2 2 x1 x 2
< 0 ,此时 f (
模拟试题】 【模拟试题】
10 = 。 2 2
  2. 若 log 8 a + log 4 b = 5 ,且 log 8 b + log 4 a = 7 ,则 ab = 10
  3. 已知 a > b > 1 , log a b + log b a = ,则 log a b ? log b a = 3

  1.
  4. 函数 y = log 1
2
1 2 + lg 16 2
。 。
x 2 + 2 x ? 8 的递增区间为


  5. 已知 f ( x ) = 2 + log 3 x , x ∈ [1 , 9] ,求函数 y = [ f ( x )] 2 + f ( x 2 ) 的最大值及相应的
x 的值。
试题答案

  1. 20
  2. 512
8
  3. ? 3

  4. 解: y =
1 log 1 ( x 2 + 2 x ?
  8) ,令 x 2 + 2 x ? 8 > 0 ? x < ?4 或 x > 2 2 2
2
由 u = x + 2 x ? 8 的递减区间为( ? ∞ , ? 4 ),( u > 0 ) 则 y = log 1
2
x 2 + 2 x ? 8 的递增区间为( ? ∞ , ? 4 )

  5. 解: f ( x) = 2 + log 3 x
y = [ f ( x)]2 + f ( x 2 ) = (2 + log 3 x) 2 + 2 + log 3 x 2
= (log 3 x +
  3) 2 ? 3
由 f (x ) 定义域为[
  1,9],则 ?
?1 ≤ x 2 ≤ 9 ?
  1≤ x ≤ 3
  1≤ x ≤ 9 ?
2
故 0 ≤ log 3 x ≤ 1 ,所以 6 ≤ y = (log 3 x +
  3) ? 3 ≤ 13 当 log 3 x = 1 ,即 x = 3 时 y = 13 故当 x = 3 时,函数 y = [ f ( x )] 2 + f ( x 2 ) 取最大值
  13。
 

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