高中高一数学必修1各章知识点1



高中高一数学必修 1 各章知识点
第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念
  1、集合的含义 含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其 含义 中每一个对象叫元素 元素。 元素
  2、集合的中元素的三个特性 三个特性: 三个特性
  1.元素的确定性;
  2.元素的互异性;
  3.元素的无序性 说明:(
  1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何 一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。 (
  2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相 同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 (
  3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合 是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是 否一样。 (
  4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
  3、 集合的表示: … } 如{我校的篮球队员}, {太平洋,大西洋, 集合的表示 { 印度洋,北冰洋}
  1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
  2.集合的表示方法:列举法与描述法。 注意啊:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集)记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示, a 是集合 A 的元素, 如: 就说 a 属于集合 A 记作 a∈A ,相反,a 不属于集合 A 记作 aA 列举法: 把集合中的元素一一列举出来, 然后用一个大括号括上。 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表 示集合的方法。 用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的 方法。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法:例:不等式 x-3>2 的解集是{xR| x-3>2}或 {x| x-3>2}
  4、集合的分类 集合的分类: 集合的分类
  1.有限集
  2.无限集
  3.空集 含有有限个元素的集合 含有无限个元素的集合 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-
  5}
二、集合间的基本关系 集合间的基本关系
  1.“包含”关系?子集 注意: 有两种可能(
  1)A 是 B 的一部分,;(
  2)A 与 B 是同一 集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或B A
  2.“相等”关系(
  5≥
  5,且
  5≤
  5,则 5=
  5) 实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同” 结论:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集 合 B 的元素,同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素, 我们就说集合 A 等于集合 B,即:A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。AA ②真子集:如果 AB,且 A 记作 A B(或 B A) ③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果 AB 同时 BA 那么 A=B
  3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 集合的运算
  1.交集的定义 交集的定义:一般地,由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成 交集的定义 的集合,叫做 A,B 的交集 的交集. 记作 A∩B(读作”A 交 B”),即 A∩B={x|x∈A,且 x∈B}. B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,

  2、并集的定义 并集的定义:一般地,由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元 并集的定义 素所组成的集合, 叫做 A,B 的并集。 记作: A∪B(读作” 并 B” A ), 即 A∪B={x|x∈A,或 x∈B}.
  3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A ∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.
  4、全集与补集 全集与补集 (
  1)补集:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 ),由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集(或 余集) 记作: CSA S CsA A (
  2)全集:如果集合 S 含有我们所要研究的各个集合的全部元 素,这个集合就可以看作一个全集。通常用 U 来表示。 (
  3)性质:⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ 二、函数的有关概念 函数的有关概念
  1.函数的概念 函数的概念:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对 函数的概念 应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯 一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集 合 B 的一个函数.记作: y=f(x),x∈A.其中,x 叫做自变量, x 的取值范围 A 叫做函数的定义域;与 x 的值相对应的 y 值叫做 函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域. 注意:2 如果只给出解析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,则 函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合; 函数 3 的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 定义域补充 ⑶(CUA)∪A=U 即 CSA ={x | xS 且 xA}
能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域, 求函数的 定义域时列不等式组的主要依据是:(
  1)分式的分母不等于零; (
  2)偶次方根的被开方数不小于零; (
  3)对数式的真数必须大于 零;(
  4)指数、对数式的底必须大于零且不等于
  1. (
  5)如果函 数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义 域是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合.(
  6)指数为零底不 可以等于零 (
  6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题 有意义. (又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 再注意: (
  1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由 于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定 义域和对应关系完全一致, 即称这两个函数相等 (或为同一函数) (
  2) 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致, 而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:① 表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例
  2) 值域补充 (
  1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法 求函数的值域都应先考虑其定义域. (
  2).应熟悉掌握一次函 数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解 复杂函数值域的基础。
  3. 函数图象知识归纳 (
  1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 P(x,y)的集合 C,叫做函 数 y=f(x),(x ∈A)的图象. C 上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系 y=f(x),反过来,以满 足 y=f(x)的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x,y),均在 C 上 . 即记为 C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
图象 C 一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任 意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点 组成。 (
  2) 画法 A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出 x,y 的一些对应值 并列表,以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点 P(x, y),最 后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法(请参考必修 4 三角函数) 常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换 (
  3)作用:
  1、直观的看出函数的性质;
  2、利用数形结合的方法分析解题的 思路。提高解题的速度。 发现解题中的错误。
  4.快去了解区间的概念 快去了解区间的概念 (
  1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(
  2)无穷 区间;(
  3)区间的数轴表示.
  5.什么叫做映射 什么叫做映射 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应 法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯 一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A B 为从集合 A 到 集合 B 的一个映射。记作“f:A B” 给定一个集合 A 到 B 的映射, 如果 a∈A,b∈B.且元素 a 和元素 b 对应,那么,我们把元素 b 叫做元素 a 的象,元素 a 叫做元素 b 的原象 说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合 A、B 及对应法则 f 是确定的;②对应法则有“方向性”,即强 调从集合 A 到集合 B 的对应, 它与从 B 到 A 的对应关系一般是不 同的;③对于映射 f:A→B 来说,则应满足:(Ⅰ)集合 A 中的 每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合
A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不 要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 常用的函数表示法及各自的优点: 1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的 点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;2 解析法: 必须注明函数的定义域;3 图象法:描点法作图要注意:确定函 数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;4 列表法: 选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 注意啊:解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。 图象法:便于量出函数值 补充一:分段函数 (参见课本 P24-
  25) 在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 在不同的范 围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。 分段函数的解 析式不能写成几个不同的方程, 而就写函数值几种不同的表达式 并用一个左大括号括起来, 并分别注明各部分的自变量的取值情 况.(
  1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数; (
  2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域 的并集. 补充二:复合函数 复合函数 如果 y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈ A) 称为 f、g 的复合函数。 例如: y=2sinX y=2cos(X2+
  1)
  7.函数单调性 函数单调性 (
  1).增函数 增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x
  1,x
  2,当 x1<x2 时,都有 f(x
  1)<f(x
  2), 那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调 增区间(睇清楚课本单调区间的概念)
如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x
  1,x
  2,当 x1<x2 时, 都有 f(x
  1)>f(x
  2), 那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意:1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函 数的局部性质; 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x
  1,x
  2;当 x1<x2 时, 总有 f(x
  1)<f(x
  2) 。 (
  2) 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性, 在单调区间上增函数 的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. (
  3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义法: 1 任取 x
  1, x
  2∈D, x1<x
  2; 作差 f(x
  1)-f(x
  2); 变形 且 2 3 (通 常是因式分解和配方);4 定号(即判断差 f(x
  1)-f(x
  2)的正 负);5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降)\\_ (C)复合函数的单调性 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x), y=f(u)的单 调性密切相关,其规律如下: 函数 单调性 u=g(x) 增 增 减 减 y=f(u) 增
减 增 减 y=f[g(x)] 增 减 减 增 注意:
  1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单 调性相同的区间和在一起写成其并集.
  2、还记得我们在选修里 学习简单易行的导数法判定单调性吗?
  8.函数的奇偶性 函数的奇偶性 (
  1)偶函数 偶函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(- x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数 (
  2).奇函数 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)= ?f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 注意:1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇 偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函 数又是偶函数。 2 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件 是,对于定义域内的任意一个 x,则-x 也一定是定义域内的一 个自变量(即定义域关于原点对称). (
  3)具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的 定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定 f(-x)与 f(x)的关系;3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-
f(x) =
  0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+ f(x) =
  0,则 f(x)是奇函数. 注意啊:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条 件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是 非奇非偶函数.若对称,(
  1)再根据定义判定; (
  2)有时判定 f(-x)=±f(x)比较困难,可考
 

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