河南省郑州市五校联考2011届高三上学期期中考试(数学文)



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2010学年上 郑州市 2010-2011 学年上期期中五校联考试卷
高中三年级 数学试卷(文科) 数学试卷(文科)

命题学校:郑州二十中
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分 150 分,时间 120 分钟. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题(每题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.)
  1.集合 P = {? 1,0,1}, Q = {y | y = cos x, x ∈ R} ,则 P I Q = A.P 密 封 线 内 不 要 答 题 B.Q C.{-1,1} ( D. {0,1} ( B.任意 x ∈ R, x 2 + x + 1 < 0 D.菱形的对角线互相垂直 ) )


  2.下列命题是特称命题的是 A.偶函数的图像关于 y 轴对称 C.存在实数大于 3
  3.函数 f ( x) = lg(4 ? x 2 ) 的定义域为 A.[-2,2] B.(-2,
  2) C.[0,2]


) D.(0,
  2)


  4.已知函数 f ( x) = ax 2 + bx + 1 是定义在[ a +1,2 a ]上的偶函数,那么 a + b 的值为 ( A. ?


1 3
B。
1 3
C. ?
1 2
D.
1 2


  5.已知函数 y = f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,且 f (2 + x ) = f (2 ? x ) ,则 f (
  4) = ( A.4 B.2 C.0
2
D.不确定 ( )

  6.已知 a, b, c 成等比数列,那么关于 x 的方程 ax + bx + c = 0 A.一定有两个不相等的实数根 C.一定没有实数根
B.一定有两个相同的实数根 D.以上三种情况都有可能

  7.“ a > 0 ”是“函数 f ( x ) = x 2 + ax 在区间[0,1]上是增函数”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件
  8.若 log b a < 0 则有 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件




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A. ( a ?
  1)(b ?
  1) > 0
B. ( a ?
  1)(b ?
  1) < 0
C. a > 1,0 < b < 1
D.以上答案均错

  9.函数 f ( x ) = A.奇函数
1 ? x 的奇偶性为 x
B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数


D.非奇非偶函数

  10.函数 f ( x) = x3 ? x 的零点是 A.0 B.
  0,1 C.
  0,
  1,-1
( D.无穷多个


  11.若函数 y = x3 + x 2 + 2mx + 1 是 R 上的单调函数,则实数 m 的取值范围是( A. [ , +∞ )

1 3
B. ( , +∞ )
1 3
C. [ , +∞)
1 6
D. [ ?
1 ,+∞) 6


  12.若 cos α + sin α = A.
1 25
1 , 则 sin 2α = 5 1 B.? 25
( C.
24 25
D. ?
24 25
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,共 20 分)
  13.抛物线 y = 8 x 2 ? ( m +
  1) x + m ? 7 的顶点在 x 轴上,则 m =.

  14.若曲线 f ( x ) = ax 2 + ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则 a 的取值范围是.

  15. cos α =
1 π α ,其中 α ∈ ( ? ,
  0) ,则 sin 的值为. 2 2 2
→ → → → → → → →

  16.已知平面向量 a = ( 2,
  4) , b = (?1,
  2) ,若 c = a ? ( a ? b ) b ,则 | c | =. 三、解答题 (70 分)
  17. (本小题满分 10 分)求函数 f ( x ) = log 2 ( ?
1 2 x + 2 x ?
  1) 的最大值. 3

  18. (本小题满分 12 分)求方程 | 1 + x |= 2 x 的根.
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3 19(本小题满分 12 分).设函数 f ( x) = x ? 3ax + b( a ≠
  0) ,且该函数曲线在点(
  2, f (
  2) )
处与直线 y = 8 相切,求 a, b 的值.

  20. (本小题满分 12 分)已知向量 a = (cos α , sin α ), b = (cos β , sin β ),| a ? b |= (Ⅰ)求 cos(α ? β ) 的值; (Ⅱ)若 ?
r
r
r
r
2 5 . 5
π
2
< β < 0 <α <
π
2
,且 sin β = ?
5 ,求 sin α 的值. 13

  21. (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,且
a2 + c2 ? b2 =
1 ac 2
(Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)求 sin
2
A+C + cos 2 B 的值. 2

  22. ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 数 列 { a n } 中 , a1 =
1 ,并且对 任意 n ∈ N ?,n ≥ 2 都 有 3
a n ? a n ?1 = a n ?1 ? a n 成立,令 bn =
(Ⅰ)求数列{ bn }的通项公式 ; (Ⅱ)求数列{
1 (n ∈ N ? ) . an
an }的前 n 项和 Tn . n
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郑州市 20
  10~2011 学年下期期中五校联考试卷 ~
高三年级数学答题卷( 高三年级数学答题卷(文)
考场:
二、填空题(共 20 分,每题 5 分)

  13、
  14、
科目:

  15、
  16、
密 封 线 内 不 要 答 题
三、解答题(共 70 分)

  17(10 分)
准考证号:

  18(12 分)
姓名:
学校:

  19(12 分)
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  20(12 分)

  21(12 分)
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  22(12 分)
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一.A C B A C C A D A C C D 二.
  13.15 三.
  17。解:对数函数在底数大于 1 时为增函数,因为 f ( x ) = log 2 ( ? 的最大值为 2 故 6分 10 分
  14. (?∞,
  0)
  15.?
1 2

  16. 8
2
1 2 x + 2 x ?
  1) 中真数部分 3
1 f ( x) = log 2 (? x 2 + 2 x ?
  1) 的最大值为 1 3
3分 5分 8分

  18.解法一:讨论绝对值 (
  1)当 x>-1 时 原方程可化为 x+1=2x 解得 x=1 (
  2)当 x<=-1 时 原方程可化为 -1-x=2x 解得 x= ?
1 舍去 3
12 分
故原方程的根为 1 解法二:两边同时平方得
( x +
  1) 2 = 4 x 2
验证知 ?
3 x 2 ? 2 x ? 1 = 0 解得 x = 1或x = ?
1 3
1 舍去 故原方程的根为 1 3
4分 8分

  19.解:对函数求导 f ′( x ) = 3 x 2 ? 3a 则
f ′(
  2) = 0 则 a = 4
由题意知原函数过点(2,
  8)所以得 8-24+b=8 b=24
12 分

  20.解: (
  1)因为 a = (cos α , sin α ), b = (cos β , sin β ),| a ? b |=
r
r
r
r
2 5 5
4分
r r 2 5 | a ? b |= (cos α ? cos β ) 2 + (sin α ? sin β )2 = 2 ? 2 cos(α ? β ) = 5
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所以 cos(α ? β ) = (
  2)在 ? 8分 由 上 面 的
3 5
(可在等式两端直接平方)
5分
π
2
< β < 0 <α <
π
2
有 sin β = ?
5 2 12 5 2 则 cos β = 1 ? sin β = 1 ? ( ? ) = 13 13 13
3 5 sin(α ? β ) = 4 5



cos(α ? β )
=



sin α = sin((α ? β ) + β ) = sin(α ? β ) cos β + cos(α ? β ) sin β
所以带入得 sin α =
10 分 12 分
33 65

  21.解: (
  1)由已知得, cos B = (
  2) sin =2
a2 + c2 ? b2 1 = 2ac 4
………………6 分
1 1 A+C B + cos 2 B = cos 2 + cos 2 B = 2 cos 2 B + cos B ? ………10 分 2 2 2 2
1 ………12 分 4
1 1 1 = 3 ,当 n ≥ 2 时,由 a n ? a n ?1 = a n ?1 ? a n 得 ? = 1, 所 a1 a n a n ?1

  22.解: (
  1)当 n=1 时, b1 =
以 bn ? bn ?1 = 1 …………4 分 所以数列 {bn } 是首项为
  3,公差为 1 的等差数列, 所以数列 {bn } 的通项公式为 bn = n + 2 …………6 分 (
  2)
an 1 1 1 1 = = ( ? ) LLLL8分 n n ( n +
  2) 2 n n + 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴ Tn = (1 ? + ? + ? + L + ? 2 3 2 4 3 5 n ?1 n +1
1 1 1 3 1 1 3n 2 + 5n ? ) = [ ?( + )] = LL11分 n n+2 2 2 n +1 n + 2 4(n 2 + 3n +
  2) 12 分 3 4(n +
  1) + 2 = ? 4 4(n +
  1)(n +
  2) +
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