黑龙江省“五校联谊”2013届高一上学期期末考试试卷(数学)





“五校联谊”2010?? 五校联谊” ??2011 学年度上学期期末考试 学年度上学期期末 五校联谊 ??
年 班
高一数学试卷 一数学试卷 命题人:五大连池高级中学高一数学备课组 命题人:五大连池高级中学高一数学备课组 中学



本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) ,全卷 150 分,考试时间 120 分钟。 第 Ⅰ卷 选择题( 小题, 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)

  1. 下列关系中正确的个数为 ( ) ①
  0∈0
  00,② ? 0
  00,③
  00,10 ?
  0(
  0,
  1)
  0,④
  0(a,b)
  0=
  0(b,a)0 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
  2. 下列四个图形中,不是以 x 为自变量的函数的图象是 ( ) ..
y y y y





O
x
O
x
O
x
O
x
A
B
C ( )
D

  3. 函数 f ( x) = x3 + 3 x ? 1 在以下哪个区间内一定有零点 A. (?1,
  0) B. (0,
  1) C. (1,
  2)
D. (2,
  3)
线
)
  4.下列函数中,在区间(
  0,+∞)上是减函数的是 ( 2 3 A. y = - x +2x B. y = x C. y = 2-x+1 D. y = log2x
  5.设 lg 2 = a , lg 3 = b ,则 lo g 5 1 2 等于 ( )
2a + b a + 2b B . C. 1+ a 1+ a
  6.若 sin α cos α < 0 ,则角 α 的终边在
A . A.第二象限 B.第四象限
2a + b 1? a
D.
a + 2b 1? a
D.第三、四象限
( ) C.第二、四象限 )

  7. 下列函数中是奇函数的是 (
A.y = sinx + 1
B. y = cos(x +
π
2
)
C. y = sin(x -
π
2
)
D. y = cosx ? 1

  8. 函数 y =
sin x ? sin x 的值域是
(
)
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A. 0 0 0
B. [ -2 , 2 ]
C. [ 0 , 2 ]
D.[ -2 , 0 ] )

  9.函数 y = A sin(ωx + ? ) 在一个周期内的图象如下,此函数的解析式为(
(A) y = 2 sin( 2 x + (B) y = 2 sin( 2 x + (C) y = 2 sin(
π
2π ) 3 3 )
x π ? ) 2 3
(D) y = 2 sin( 2 x ?
  10. 函数 y = 2sin ( A. [ 2kπ ?
π
π
3
3
)

? 2 x )的单调递增区间是( ,2kπ ?
5π 7π π ] (k ∈ Z) B. [ kπ ? , kπ ? ] (k ∈ Z) 12 12 12 12 7π π π 5π C . [ 2kπ ? ,2kπ ? ] (k ∈ Z) D. [ kπ ? , kπ + ] (k ∈ Z) 12 12 12 12

  11.对于函数 f(x)=sin(2x+
π
π
6
),下列命题:
①函数图象关于直线 x=-
π
12
对称;
②函数图象关于点(
③函数图象可看作是把 y=sin2x 的图象向左平移个 ④函数图象可看作是把 y=sin(x+
π
6
5π ,
  0)对称; 12
单位而得到;
π
6
)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ( )
1 倍 2
(纵坐标不变)而得到;其中正确的命题的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3
? a, ( a ≤ b)
  12. 定义运算 a ? b 为: ? b = ? 如1 ? 2 = 1 , 则函数 f ( x) = 2 x ? 2? x 的值域为 ( a ?b, (a > b) ,
A. R B. (
  0,+∞) 第 II 卷 C. (
  0,1] D. [
  1,+∞)

二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.) 填空题: (本大题共 小题, (
y

  13.与 ? 2002 终边相同的最小正角是 。
0
3 2
?2 x + 3 ?
  14. 函数 y= ? x + 3 ?- x + 5 ?
( x ≤
  0), (0 < x ≤
  1), 的最大值是. ( x >
  1)
O 2 x

  15.已知 f (x)是定义在 [ ?2, 0 ) ∪ ( 0, 2] 上的奇函数,当 x > 0 时,f (x)的图象如右图所示,
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那么 f (x)的值域是
  16. 函数 y =
3 cos x + 1 的值域是 cos x + 2
小题, 解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤.) 解答题(
  17. (本题满分 10 分)
π 3π sin(α ? ) cos( + α ) tan(π ? α ) 2 2 已知 α 为第三象限角, f (α ) = . tan(?α ? π ) sin(?α ? π )
(1)化简 f
(α )
3π 1 ) = ,求 f (α ) 的值 2 5
(2)若 cos(α ?

  18. (本题满分 12 分)
x π + ) 2 3 x π (
  1)求函数 y = 2 sin( + ) 的周期,最大值及取得最大值时相应的 x 的集合; 2 3 x π (
  2) 指出函数 y = 2 sin( + ) 的图象是由函数 y = sin x ( x ∈ R ) 的图象经过怎样的变化而 2 3
已知函数 y = 2 sin( 得到的。
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  19.(本小题满分 12 分) ,且 sin θ = 已知角θ 的终边上有一点 P( ? 3 ,m) 求 cosθ 与 tan θ 的值。
2 m, 4

  20. (本小题满分 12 分) 函数 f ( x ) 是 R 上的偶函数,且当 x > 0 时,函数的解析式为 f ( x ) = (
  1)求 f ( ?
  1) 的值; (
  2)求当 x < 0 时,函数的解析式; (
  3)用定义证明 f ( x ) 在 ( 0,+∞ ) 上是减函数;
2 ?
  1. x
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  21.(本小题满分 12 分)
1 已知指数函数 y = ( ) x , x ∈ (0, + ∞) 时, y > 1 , 当 有 解关于 x 的不等式 loga (x ?
  1) ≤ loga (x2 + x ?
  6) 。 a

  22. (本小题满分 12 分) 设 a 为实数,函数 (
  1)若 (
  2)求
f ( x) = 2 x 2 + ( x ? a ) | x ? a | .
f (
  0) ≥ 1 ,求 a 的取值范围; f ( x) 的最小值; f (x), x ∈(a, +∞) ,直接写出(不需给出演算步骤)不等式 h( x) ≥ 1 的解 ....
(
  3)设函数 h( x) = 集.
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“五校联谊”2010?? 五校联谊” ??2011 学年度上学期期末考试 学年度上学期期末 五校联谊 ?? 高一数学试卷答案 一、选择题(每题 5 分,共 60 分) BCBCC

CBDAB
CC
二、填空题(每题 5 分,共 20 分)
  13. 158
0

  14. 4
  16. [ ? 2,

  15. {x| -
  3≤x<-
  2}∪{x| 2<x≤
  3} 三、解答题
  17.解: (本题满分 10 分)
4 ] 3

  1)

π 3π sin(α ? ) cos( + α ) tan(π ? α ) 2 2 f (α ) = tan(?α ? π ) sin(?α ? π )
(? cos α )(sin α )(? tan α ) (? tan α ) sin α = ? cos α =

  2)∵ cos(α ? ∴ ? sin α =
线
………5 分
3π 1 )= 2 5
从而 sin α = ?
又 α 为第三象限角 ∴ cos α = ? 1 ? sin α = ?
2
1 5
1 5
………7 分
2 6 5
………9 分
即 f (α ) 的值为 ?
2 6 5
………10 分

  18.解: (本题满分 12 分)
2π = 4π ………2 分 1 2 x π x π π π 当 2 sin( + ) = 1 ,即 + = 2kπ + ,即 x = 4kπ + , k ∈ Z 时, y 取得最大值 2 3 2 3 2 3

  1) T =
  2. ………5 分
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∴ y 取得最大值 2 时, x 的取值集合为 ? x | x = 4kπ +
π
? ?
π
? , k ∈ Z ? ………6 分 3 ?

  2) y = sin x ?? ? ? → y = sin x + ? (
左移 个单位 3
π
3
) 横坐标扩大到原来的 2倍→ ?? ? ? ? ? ?
………12 分
x π x π y = sin( + ) ?纵坐标扩大到原来的2倍→ y = 2 sin( + ) ? ? ? ? ?? 2 3 2 3

  19. (本题满分 12 分) 解:由已知有,
2 m m= ,得 m=
  0,或 m = ± 5 4 3 + m2
………3 分
(
  1)当 m=0 时, cosθ = ?1, tan θ = 0 ; (
  2)当 m =
………6 分
5 时, cos = ?
6 15 , tan θ = ? , 4 3 6 15 , tan θ = 。 4 3
………9 分
(
  3) 当 m = ? 5 时, cos = ?
  20.(本小题满分 12 分)
………12 分
解答: (
  1).因为 f ( x ) 是偶函数,所以 f ( ?
  1) = f (
  1) = 2 ? 1 = 1 ; (
  2)设 x < 0, 则 ? x > 0 ,所以 f ( ? x ) =
………2 分
2 ? 1 ,又 f ( x ) 为偶函数,所以 ?x
………7 分
f ( x ) = f (? x ) =
2 ?
  1. ?x
(
  3) 设 x
  1,x2 是(
  0,+∞)上的两个任意实数,且 x1 < x
  2, 则 ? x= x1- x2<
  0, ? y = f (x
  1)- f (x
  2) =
1 1 1 1 x2 ? x1 -2- ( -
  2) = = . x1 x2 x1 x2 x1 x2
因为 x2- x1 = - ? x >
  0,x1x2 >0 , 所以 ? y >
  0. 因此 f (x) =
1 -2 是(
  0,+∞)上的减函数. x
………12 分

  21: (本题满分 12 分)
1 1 解:∵ y = ( ) x 在 x ∈ (0, + ∞) 时,有 y > 1 ,∴ > 1, 即 0 < a < 1 ………4 分 a a
? x ? 1 ≥ x2 + x ? 6 ? 于是由 log a ( x ?
  1) ≤ log a ( x 2 + x ?
  6) ,得 ? 2 , ………8 分 ?x + x ? 6 > 0 ?
解得 2 < x ≤ 5 , ∴ 不等式的解集为 {x | 2 < x ≤ 5} 。
  22. (本题满分 12 分)
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………12 分
解: (
  1)若
f (
  0) ≥ 1 ,则 ?a | a |≥ 1 ? ?
2 2
?a < 0
2 ?a ≥ 1
? a ≤ ?1 ………2 分
2 ? f (a ), a ≥ 0 ?2a , a ≥ 0 ? ? 2 =? a = ? 2a ,a < 0 ? f ( 3 ), a < 0 ? ? ? 3

  2)当 x ≥ a 时, f ( x) = 3 x ? 2ax + a , f ( x) min
当 x ≤ a 时, f ( x) = x + 2ax ? a , f ( x ) min
2 2
2 ? f (? a ), a ≥ 0 ??2a , a ≥ 0 ? =? =? 2 ?2a , a < 0 ? f (a ), a < 0 ?
综上 f ( x) min
??2a 2 , a ≥ 0 ? = ? 2a 2 ,a < 0 ? ? 3
………7 分

  3)x ∈ ( a, +∞) 时,h( x ) ≥ 1 得 3 x ? 2ax + a ? 1 ≥ 0 ,? = 4a 2 ? 12( a 2 ?
  1) = 12 ? 8a 2
2 2
当a ≤ ?
6 6 或a ≥ 时, ? ≤ 0, x ∈ ( a, +∞) ; 2 2
? a ? 3 ? 2a 2 a + 3 ? 2a 2 6 6 ?( x ? )( x ? )≥0 当? <a< 时,△>0,得: ? 3 3 2 2 ? ?x > a
讨论得:当 a ∈ ( 当 a ∈ (?
2 6 , ) 时,解集为 (a, +∞) ; 2 2
6 2 a ? 3 ? 2a 2 a + 3 ? 2a 2 ,? ) 时,解集为 (a, ]∪[ , +∞) ; 2 2 3 3 2 2 a + 3 ? 2a 2 , ] 时,解集为 [ , +∞) . 2 2 3
………12 分
当 a ∈ [?
(其它解法请酌情给分)
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