假期作业练习19



假期作业 练习19

  1、 2 3 ;
  2、必要补充分 ; 1
  3、 ; 2 1
  4、 ; 3
  5、38 ;
  6、①④ ; 3
  7、 ; 4
  8、
  16;
  9、
(
2 1,1 ;
)

  10、 ②;
  11、-3 ;
  12、 (4,5] ;
  13、 13 ;
  14、 a ≤ 1 ;
高二年级暑期作业理科数学试题 高二年级暑期作业理科数学试题 5
一、填空题:
  1.函数 y = 3 sin x + 3 cos x 的最大值为

  1、 2 3 ;

  2.
1 < 1 ”是“ lg x > 0 成立”的 x
条件(填人“充分不必要’ ’或“必要不
充分, ,或“充要”或“既不充分也不必要”).

  2、必要补充分 ;

  3.若 z1 = a + i, z 2 = 1 2i ,且 z1 z 2 ∈ R ,其中 i 为虚数单位.则实数 a 的值为
  3、 1 ; 2

4 .若 a, b ∈ {0,1,2}
,则关于 x 的方程 x 2 2ax + b 2 = 0 有两个相异实数根的概率


  4、

1 ; 3

  5.有 100 辆汽车在一个时段经过某一雷达测速区,这些 汽车运行时速的频率分布直方图如图所示,则时速超 过 60 km/h 的汽车数量约为
  5、38 ; 辆.

  6.下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点, M、N、P 为正方体的顶点或为其所在棱的中点,则能得 出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是
  6、①④ ; .

  7.在等腰三角形 ABC 中,∠C=
  90°,过点 C 任作一条射线与斜边 AB 交于一点 M , 则 AM 小于 AC 的概率为
  7、
3 ; 4

  8.某算法的伪代码如下图所示,则输出的结果是


  8、
  16;

  9.已知 F
  1、F2 分别是椭圆
x2 y2 + = 1( a > b > 0 ) 的左、右焦点,过 F1 作垂直于 x 轴 a2 b2
的直线交椭圆于 A、B 两点,若△ABF2 为锐角三角形,则双曲线的离心率 e 的范围 是
  9、 .
(
2 1,1 ;
)

  10.右图是某公交线路收支差额 y ,与乘客量 x 之间的关系图(收支差额=车票收入+财
政补贴一支出费用.假设财政补贴和支出费用与乘客量无关).在票价听证会上,市民 代表提出“增加财政补贴,票价实行 8 折优惠”的建议.则下列四个图中反映了市民 代表建议的是
  10、 ②;
(虚线表示调整后 y 与 x 的关系图).
11 .已知扇形 OAB 的半径为 2 ,圆心角∠ AOB=120 °,点 C 是弧 AB 的中点,
1 OD = OB ,则 CD AB 的值为 2
  11、-3 ;


  12.记不等式 3x 4 < b 的解集为 A,若集合 A ∩ Z 中有且只有三个元素,
则实数 b 的取值范围为
  12、 (4,5] ;


  13.对大于 1 的自然数 m 的三次幂,可用奇数进行以下方式的拆分: 23=3+5 33=7+9+11 43=13+15+17+19 … 若 159 在 m3 的拆分中,则 m 的值为
  13、 13 ; .
x2 + a 已知函数 f ( x ) = , 若对于任意的 m∈(一
  2, 都存在实数 x 使得 f ( x ) = m
  2),
  14. x +1 成立,则实数 a 的取值范围为
  14、 a ≤ 1 ; .
二、解答题:
  15. 在 ABC 中,已知 a 2 + b 2 + ab = c 2 求:
  1)角 C 的大小;
(
  2) 2 sin A cos B sin ( A B ) 的值.
15 解: (
  1)将 a 2 + b 2 + ab = c 2 与 a 2 + b 2 2ab cos C = c 2 比较得 , 2 cos C = 1
2 1 cos C = ∵ 0 < C < π ,∴ C = π 2 3
(
  2)由(
  1)及 A + B + C = π , 得A + B =
π
3
即2sinAcosB sin (A - B) = sin A cos B + cos A sin B = sin ( A + B ) = sin
π
3
=
3 2

  16.已知四棱锥 P--ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,∠ DAB=
  90°, PA ⊥底面 ABCD,且 PA=AD=DC=
1 AB , 2
E、M 分别是边 PD、PC 的中点. (
  1)求证:AE⊥面 PCD。 (
  2)在线段 AB 上求一点 N,使得 MN∥面 PDA.

  16.证明;
  1)∵ PA = AD = DC = ∴ AE ⊥ PD
1 AB, PE = DE 2
∵ PA ⊥ 面ABCD, CD 面ABCD,∴ PA ⊥ CD ∵ AB // DC , ∠DAB = 90 0 ,∴ CD ⊥ AD, PA ∩ AD = A,∴ CD ⊥ 面PAD
又AE 面PAD, CD ⊥ AE , 在面PDC内CD ∩ PD = D,∴ AE ⊥ 面PDC ∴ (
  2)存在点 N 为线段 AB 上靠近点 A 的四等分点
1 1 AB = CD,∵ 又E、M分别是边PD、PC的中点 4 2 1 ∴ ME = CD, 且ME // CD,又AN // CD ∴ EC // AN ∴四边形ANME为平行四边形 2 ∴ MN // AE, 面PDA,MN 面PDA,即MN // 面PDA . AE ∵ AN =

  17.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 的圆心在第二象限,在 y 轴上截得的弦长为
2 2 4 且与直线 y=x 相切于坐标原点 O. 椭圆 x + y = 1 a > 0 与圆 C 的一个交点到椭圆两 ( ) a2 9
焦点的距离之和为
  10. (
  1)求圆 C 的方程; (
  2)若圆 C 上存在异于原点的点 Q,使点 Q 到椭圆 右焦点 F 的距离等于线段 OF 的长,请求出点 Q 的坐标.

  17.解: (
  1)∵圆 C 的圆心在第二象限,且与直线 y=x 相切与坐标原点 O, 故可设圆心为(-m,m)(m>
  0) ∴圆 C 的半径为 2m,∴圆C的方程为( x + m ) + ( y m ) = 2m 2
2 2
令 x=0,得 y=0,或 y=2m ∵圆 C 在 y 轴上截得的弦长为
  4. ∴ 2m 0 =
  4..m = 2 故圆C的方程为( x + 2 ) + ( y 2 ) = 8
2 2

  2)由条件可知 a = 5即椭圆方程为
x2 y2 + = 1,∴ F (4,0 ), F在OQ的中垂线上。 25 9
又 O,Q 在圆 C 上,所以 O,Q 关于直线 CF 对称; 1 直线 CF 的方程为 y 2 = ( x + 2 )即x + 3 y 4 = 0 3
4 y x = 5 , x = 3 4 12 解得 故 Q 点坐标为 设 Q( x, y )则 5, 5 x + 3y 4 = 0 y = 12 2 2 5

  18.某公司为了应对金融危机,决定适当进行裁员.已知这家公司现有职工 2m 人 (60<m<5
  00,且 m 为 10 的整数倍),每人每年可创利 100 千元.据测算,在经营条件不 变的前提下,若裁员人数不超过现有人数的
  20%,则每裁员 1 人,留岗员工每人每年 就能多创利 1 千元;若裁员人数超过现有人数的
  20%,则每裁员 1 人,留岗员工每人 每年就能多创利 2 千元.为保证公司的正常运转,留岗的员工数不得少于现有员工人 数的
  75%. 为保障被裁员工的生活, 公司要付给被裁员工每人每年 20 千元的生活费. 问: 为了获得最大的经济效益,该公司应裁员多少人?

  18.解:设公司裁员人数为 x,获得的经济效益为 y 元, 则由题意得当 0 < x ≤
1 × 2m时。y = ( 2m x )(100 + x ) 20 x 5
2 1 当 m ≤ x ≤ × 2m时,y = ( 2m x )(100 + 2 x ) 20 x 5 4
2 2 x 2(m 60 )x + 200 m,0 x ≤ 5 m且x ∈ N ∴y= , 2 1 2 2 x 2(m 30 )x + 200 m, m x ≤ m, x ∈ N 5 2
[
]
① ②
[
]
由①得对称轴 x = m 60 > 0,
当0 < m 60 ≤ 2 m,即60 < m ≤ 100时, x = m 60时, y取得最大值 y1 = m 2 + 80 m + 3600 5
当m > 100时,x =
2 m时,y取得最大值y2 =
  0.64m 2 + 152m 5
由②得对称轴 x = m 30
∵ 60 < m < 500,∴ m 30 >
∵ 当x =
1 m 2
m 时,y取得最大值y 3 =
  1.5m 2 + 140m 2
2
∵当60 < m ≤ 100时, y3 y1 =
  0.5m 2 + 60m 3600 =
  0.5 ( m + 60 ) 5400 >
  0.5 × 1202 5400 = 1800 > 0
当100 < m < 500时, y3 y2 =
  0.86m 2 12m = m (
  0.86m 12 ) 0,即当60 < m < 500时,y3最大
1 1 即当公司应裁员数为 m ,即原有人数的 时,获得的经济效益最大。 2 4
nπ 1 2 nπ
  19. 数列 {a n } 满足 a1 = 1, a 2 = 2, a n + 2 = 1 cos 2 , n = 1,2,3 a n + 2 sin 2 2 3 (
  1)求 a
  3、a 4 及数列 {a n } 的通项公式; (
  2)设 S n = a1 + a + + a n , 求S 2 n ,求 S 2 n ;
(
  3)设 c n = λ (
  1) a 2 n , a 为大于零的实数, Tn 为数列{Cn } 的前 n 项和,问是否存在
n
实数 λ ,使得对任意正整数 n,都有 a < Tn < a 2 ? 若存在,求 λ 的取值范围;若不存 在,说明理由.
nπ 1 2 nπ
  19. 数列 {a n } 满足 a1 = 1, a 2 = 2, a n + 2 = 1 cos 2 , n = 1,2,3 a n + 2 sin 2 2 3 (
  1)求 a
  3、a 4 及数列 {a n } 的通项公式; (
  2)设 S n = a1 + a + + a n , 求S 2 n ,求 S 2 n ;
(
  3)设 c n = λ (
  1) a 2 n , a 为大于零的实数, Tn 为数列{Cn } 的前 n 项和,问是否存在
n
实数 λ ,使得对任意正整数 n,都有 a < Tn < a 2 ? 若存在,求 λ 的取值范围;若不存 在,说明理由.
  19.解: (
  1) a3
π π 1 = 1 cos2 a1 + 2sin 2 = a1 + 2 = 1 + 2 = 3 2 2 3
2π 2 4 1 1 2 2π a 4 = 1 cos 2 = 1 a 2 = × 2 = a 2 + 2 sin 2 2 3 3 3 3
2n 1 1 2 2n 1 一般地, a 2 n +1 = 1 cos 2 π = a 2 n 1 + 2 a 2 n1 + 2 sin 2 2 3 即 a2 n+1 - a2 n 1 =2 即数列{ a2 n 1 }是以 a1 = 1 ,公差为 2 的等差数列。∴ a 2 n1 = 2n 1 2n 2n 2 1 又 ∵ a 2 m + 2 = 1 cos 2 π a 2 n + 2 sin 2 π = a 2 n 2 2 3 3
即数列{ a 2 n }是首项为 a 2 = 2 ,公比为
2 的等比数列 3
∴ a2n
2 = a2 3
n 1
2 = 2 3
n 1
n, n = 2m 1, m ∈ N n2 综上可得a n = 2 2 2 , n = 2m, m ∈ N 3

  2) S 2 n = a1 + a 2 + + a 2 n 1 + a 2 n = (a1 + a 3 + + a 2 n 1 ) + (a 2 + a 4 + + a 2 n )
n 1 4 2 = [1 + 3 + + (2n
  1)] + 2 + + + 2 3 3
2 = n2 + 6 6 3
n

  3)
n 1 a2 a4 + a6 + (
  1) n1 a2 n = ( λ ) 2 4 + + (
  1) n1 2 2 Tn = ( λ ) 3 3
n 6 n 2 = λ 1 (
  1) 3 5
2 注意到对任意自然数 n,1 (
  1) > 0 3
n
n
要对任意自然数 n 及正数 a ,都有 a < Tn < a 2 , 则必有λ < 0 此时,对任意自然数 n , Tn ≤ T1 , Tn ≥ T2
3 2 λ < a a < T2 a < λ , 2 ∴ a < Tn < a 2等价于 2 ,即 3 2 a > T1 a 2 > 2λ λ > a 2
a 2 3a 2 ∴当a > 3时,存在实数λ ∈ , , 使得对任意正整数n都有a < Tn < a ; 2 2 当0 ≤ a ≤ 3时不存在实数λ,使得对任意正整数n都有a < Tn < a 2

  20.已知函数 f ( x ) = a ( x
  1) + lnx,, a ∈ R ;
2

  1)当 a = 1 时,判断函数, f ( x ) 的单调性并写出其单调区间;

  2)若函数, f ( x ) 的图象与直线 y = x 至少有一个交点,求实数 a 的取值范围;
  3)证明:对任意的 n∈N*都有 ln (1 + n ) >

i 1
n
i 1 成立. i2

  20.已知函数 f ( x ) = a ( x
  1) + lnx,, a ∈ R ;
2

  1)当 a = 1 时,判断函数, f ( x ) 的单调性并写出其单调区间;

  2)若函数, f ( x ) 的图象与直线 y = x 至少有一个交点,求实数 a 的取值范围;
  3)证明:对任意的 n∈N*都有 ln
(1 + n ) > ∑
i 1
n
i 1 i2
成立.
20 解:
  1) 当a = 1时,f ( x ) = ( x
  1) + Inx, 其定义域为(
  0, ∞ ) ( +
2
1 1 2 x + 2 1 2x 2x + 1 2 2 ∵ f ′( x ) = 2x 2 + = = >0 x x x
∴函数f ( z )为增函数,单调增区间为(
  0. + ∞ )
2
(
  2)设g (x ) = a(x
  1)2 + Inx x.由题意得方程g (x ) = 0在区间(0,+∞ )上至少有一解
若a = 0时,g ′( x ) = 1 x , 故g ( x )在(
  0,上单调递增,在(
  1, ∞ )上单调递减,
  1) + x
∴ g ( x )max = g (
  1) = 1 < 0 ∴ 方程 g (x ) = 0 无解
若a ≠
  0.g ′(x ) = a (2 x 2 ) + 令g ′( x ) = 0得x1 = 1 2ax 2 (2a +
  1)x + 1 (2ax
  1)( x
  1) 1 = = x x x
1 , x2 = 1 2a
① 当a < 0时,由g ′ ( x ) > 0得x ∈ 1 ,1 ,由g ′ ( x ) < 0得x ∈ ∞, 1 或x ∈ (
  1. + ∞ ) 2a 2a
∴ g ( x )的单调增区间为x ∈ (0,
  1),减区间为(1,+∞ )
g ( x ) max = g (
  1) = 1 < 0,∴ 方程g ( x ) = 0无解
② 当 0 < a < 1 时 , 可 得 g ( x )的 单 调 增 区 间 为 (
  0,), 1 , +∞ , 单 调 减 区 间 为
  1,1 1 2 2a 2a
1 ∴ 极大值为g (
  1) = 1 <
  0,极小值为g < 0 2a
,∵
1 1 +3> a 2a
1 1 1 1 又 g + 3 = a + 2 + In + 3 + 3 a a a a = 1 1 1 + 4 + 4 a + In + 3 3 a a a 1 = In + 3 + 4 a + 1 > 0 a 1 1 ∴g g + 3 < 0 ∴ 方程g ( x ) = 0恰好有一解 2a a
1 ③ 当a = 时,g ′( x ) ≥ 0,∴ 函数g ( x )为增函数, 由② 得方程g ( x ) 也恰好有一解 2 ④ 当a >
2
1 1 1 时,g ( x )的单调增区间为 0, , (
  1. + ∞ ) , 减区间为 ,1 , 2 2a 2a
同上可得方程 g ( x ) = 0 在 (0,+∞ ) 上至少有一解。综上得所求的 a 取值范围为 (0,+∞ )

  20.已知函数 f ( x ) = a ( x
  1) + lnx,, a ∈ R ;
2

  1)当 a = 1 时,判断函数, f ( x ) 的单调性并写出其单调区间;

  2)若函数, f ( x ) 的图象与直线 y = x 至少有一个交点,求实数 a 的取值范围;
  3)证明:对任意的 n∈N*都有 ln (1 + n ) > ∑
i 1 n
i 1 成立. i2
解:
(
  3) ( 法一 )由( 2 ) 可知得:当a =
  1,函数g ( x ) = ( x
  1) + Inx x在x ∈ (1, +∞ ) 上单调增
2
∴ ( x
  1) + Inx x ≥ g (
  1) =
  1,即Inx ≥ x 2 + 3 x 2
2
1 1 1 1 令x = 1 + .n ∈ N ,∴ In1 + ≥ 2 n n n n
1 1 1 1 ∴ In 1 + + In 1 + + In 1 + + + In 1 + 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ≥ 2 + 2 + 2 + + 2 1 1 2 2 3 3 n n
1 1 1 1 n 1 1 ∴ In 1 + 1 + 1 + 1 + ≥ ∑ 2 1 2 3 n i =1 i i
即In(1 + n ) ≥ ∑
i 1 n
i 1 i2
∴所证结论成立
(法二) 令1 +
1 1 = x, = x 1, n ∈ N , x ∈ (1,2] n n
2
记h( x ) = Inx ( x
  1) + ( x
  1) = Inx + x 2 3 x + 2
则h′ ( x ) =
( 2 x
  1)( x
  1) > 0 ,∴ h(x ) 单调递增 1 + 2x 3 = x x
又h (
  1) = In1 + 12 3 + 2 = 0,∴ h ( x ) > 0 即当x ∈ (1, 2]时,即g ( n ) g ( n
  1) > 0 , ∴ g (n ) 单调递增
又g (
  1) = In 2 > 0, ∴ g ( n ) > 0, ∴ 所证结论成立
  •  
 

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