江苏省苏南四市(苏州、无锡、常州、镇江)2010届高三一模(数学)全word版有答案



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2010 年苏,锡,常,镇四市高三教学情况调查(一) 数学Ⅰ试题 数学Ⅰ 命题单位:常州市教育教研室 20
  10.3
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
  1.本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题??第 14 题) ,解答题(第 15 题??第 20 题) .本卷满分 160 分,考试时间为 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回.
  2.答题前,请您务必将自己的姓名,准考证号用
  0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规 定位置.
  3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须用
  0.5 毫米 黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.
  4. 如需作图,须用 2B 铅笔绘,写清楚,线条,符号等须加黑,加粗.
  5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠,破损.一律不准使用胶带纸,修正液,可擦洗的圆珠笔. 参考公式: 样本数据 x1 , x2 ,…, xn 的方差 s 2 =
1 n 1 n ∑ ( xi x)2 ,其中 x = n ∑ xi . n i =1 i =1
一,填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位 填空题: 小题, 请把答案填写在答题卡相应位 ...... 置上. .。

  1. 函数 f ( x) = 2sin(3πx
  1) (x ∈ R) 的最小正周期为

. ▲ .

  2. 若 (1 + ai) 2 = 1+bi ( a, ∈ R , i 是虚数单位) b ,则 a + bi =

  3. 某地区在连续 7 天中,新增某种流感的数据分别为 4,2,1,0,0,0,0,则这组数据
的方差 s 2 =

. ▲ .

  4. 已知两个单位向量 e1 , e2 的夹角为 120 , 若向量 a = e1 + 2e2 ,b = 4e1 , a b = 则

  5. 已知集合 A = x x = , n = 0,1, 2,3, 4,5,6 , 若从 A 中任取一个元素 x, 则恰有 cos x = 0 的 2
概率为

.
x2 y 2 = 1( a > 0 ) 的一条渐近线与直线 l : a2

  6. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知双曲线 C :
2 x y + 1 = 0 垂直,则实数 a =

.

  7. 设 a, b 为不重合的两条直线, α , β 为不重合的两个平面,给出下列命题:
(
  1)若 a ‖ α 且 b ‖ α ,则 a ‖ b ;
  2)若 a ⊥ α 且 b ⊥ α ,则 a ‖ b ; ( (
  3)若 a ‖ α 且 a ‖ β ,则 α ‖ β ;
  4)若 a ⊥ α 且 a ⊥ β ,则 α ‖ β . (
本卷第 1 页(共 15 页)
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上面命题中,所有真命题的序号是 ...

.
Sn d } 为等差数列, 公差为 . 类 n 2
前 则数列 {
  8. 若等差数列 {an } 的公差为 d , n 项的和为 Sn ,
似地,若各项均为正数的等比数列 {bn } 的公比为 q ,前 n 项的积为 Tn ,则数列 { n Tn } 为 等比数列,公比为 ▲ .

  9. 已知集合 A = x x 2 x ≤ 0, x ∈ R , 设函数 f ( x ) = 2 x + a x ∈ A ) ( 的值域为 B , B A , 若
{
}
则实数 a 的取值范围是

  10.已
▲ 等
. 差 数 列 , 设
开始 输入 n
n ≤5
Y N

{an }

Tn =| a1 | + | a2 | + + | an | (n ∈ N ) .某学生设计了一
个求 Tn 的部分算法流程图(如图) ,图中空白处理框中 是用 n 的表达式对 Tn 赋值, 则空白处理框中应填入:Tn ← ▲ .
Tn←-n2+9n

  11.已知函数 f ( x) = log 2 x ,正实数 m,n 满足 m < n ,且
输出 Tn 结束 (第 10 题图)
f (m) = f (n) ,若 f ( x) 在区间 [m2 , n] 上的最大值为 2,
则n+m =

.
x2 y 2 xy
  12.若不等式 + ≥ k 对于任意正实数 x,y 总成立的 108 4 3
必要不充分条件是 k ∈ [ m, +∞ ) ,则正整数 m 只能取

.

  13.在平面直角坐标系 xOy 中,设直线 l : kx y + 1 = 0 与圆 C : x 2 + y 2 = 4 相交于 A,B 两
点,以 OA,OB 为邻边作平行四边形 OAMB,若点 M 在圆 C 上,则实数 k=

  14.若函数 f ( x ) = x + 13 2tx ( t ∈ Ν )的最大值是正整数 M ,则 M =
▲ .
.

小题, 请在答题卡指定区域内作答, 二,解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文 解答题: ....... 字说明,证明过程或演算步骤. 字说明,证明过程或演算步骤.

  15.(本小题满分 14 分)
在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 cos A = (
  1)求 sin C 的值; (
  2)求 sin(2 A + C ) 的值;
3 (
  3)若△ABC 的面积 S = sin B sin C ,求 a 的值. 2
4 , b = 5c . 5
本卷第 2 页(共 15 页)
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  16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ABCD 中, AB ‖ DC , DC = 2 AB ,
AP = AD , PB ⊥ AC , BD ⊥ AC , E 为 PD 的中点.
P E D C
求证:
  1) AE ‖平面 PBC ; ( (
  2) PD ⊥平面 ACE .
A

  17. (本小题满分 14 分)
B
(第 16 题图)
如 图 , 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 , 椭 圆 C :
x2 y 2 + = 1( a > b > 0 )的左焦点为 F ,右顶点为 A, a 2 b2
y P
M
动点 M 为右准线上一点 (异于右准线与 x 轴的交点) , 设线段 FM 交椭圆 C 于点 P, 已知椭圆 C 的离心率为
2 9 ,点 M 的横坐标为 . 3 2
F
O
A
x
(
  1)求椭圆 C 的标准方程;
(第 17 题图)
(
  2)设直线 PA 的斜率为 k1 ,直线 MA 的斜率为 k2 ,求 k1 k2 的取值范围.

  18.(本小题满分 16 分)
如图,ABCD 是正方形空地,边长为 30m,电源在点 P 处,点 P 到边 AD,AB 距离分 别为 9 m , 3 m .某广告公司计划在此空地上竖一块长方形液晶广告屏幕 MNEF ,
MN : NE = 16 : 9 . 线段 MN 必须过点 P, 端点 M, N 分别在边 AD,AB 上,设 AN=x(m) ,液晶广
F E D M A P N
(第 18 题图)
C
告屏幕 MNEF 的面积为 S(m ).
(
  1) 用 x 的代数式表示 AM;
2
(
  2)求 S 关于 x 的函数关系式及该函数的定义 域;
B
(
  3)当 x 取何值时,液晶广告屏幕 MNEF 的面积 S 最小?

  19.(本小题满分 16 分)
本卷第 3 页(共 15 页)
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2 已知等比数列 {an } 的公比为 q ,首项为 a1 ,其前 n 项的和为 Sn .数列 {an } 的前 n 项的
和为 An , 数列 {(
  1) n +1 an } 的前 n 项的和为 Bn . (
  1)若 A2 = 5 , B2 = 1 ,求{an } 的通项公式; (
  2)①当 n 为奇数时,比较 Bn Sn 与 An 的大小; , ②当 n 为偶数时,若 q ≠1 ,问是否存在常数 λ (与 n 无关) 使得等式 ( Bn λ ) Sn + An = 0 恒成立,若存在,求出 λ 的值;若不存在,说明理由.

  20.(本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) = x 2 + mx + n ln x ( x > 0 ,实数 m , n 为常数) . (
  1)若 n + 3m 2 = 0 ( m > 0 ) ,且函数 f ( x) 在 x ∈ [1, +∞ ) 上的最小值为 0,求 m 的值; (
  2)若对于任意的实数 a ∈ [1, 2] , b a = 1 ,函数 f ( x) 在区间 (a, b) 上总是减函数,对每 个给定的 n,求 m 的最大值 h(n).
数学Ⅱ 附加题) 数学Ⅱ(附加题) 命题单位:常州市教育教研室
注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求

  1.本试卷只有解答题,供理工方向考生使用.本试卷第 21 题有 4 个小题供选做,每位考生
20
  10.3
在 4 个选做题中选答 2 题,3 题或 4 题均答的按选做题中的前 2 题计分.第 22,23 题为 必答题.每小题 10 分,共 40 分.考试用时 30 分钟.

  2.答题前,考生务必将自己的学校,姓名,考试号填写在试卷及答题卡的规定位置.
  3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答必须

  0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚.本卷考试结束后,上交答 题卡.
  4.如需作图,须用 2B 铅笔绘,写清楚,线条,符号等须加黑,加粗.
本卷第 4 页(共 15 页)
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  5.请保持答题卡卡面清洁,不要折叠,破损.一律不准使用胶带纸,修正液,可擦洗的圆 珠笔.

  21. 选做题】在 A,B,C,D 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共计 20 分.请在 . 选做题】 【选做题 小题中 ...... 【 , , , 答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 内作答,解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤. ....... A.选修 4?1:几何证明选讲 如图,在梯形 ABCD 中, AD ‖BC,点 E , F 分别在 边 AB ,CD 上,设 ED 与 AF 相交于点 G ,若 B ,C , F ,
E 四点共圆,求证: AG GF = DG GE .
A G E
D
F
B.选修 4?2:矩阵与变换
3 1 已知矩阵 A = ,求 A 的特征值 λ1 , λ2 及对应 0 1
的特征向量 α1 , α2 .
B
C
(第 21?A 题图)
C.选修 4?4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的方程 y 2 = 3x 2 2 x3 ,设 y = tx , t 为参数,求曲线 C 的参数方程.
D.选修 4?5:不等式选讲 设实数 x, y , z 满足 x + y + 2 z = 6 ,求 x 2 + y 2 + z 2 的最小值,并求此时 x, y , z 的值.
请在答题卡指定区域内作答, 【必做题】第 22 题,第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解 必做题】 ....... 答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤. 答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
  22. (本小题满分 10 分) 如图,在直三棱柱 ABC A1 B1C1 中, ∠BAC = 90o ,AB=AC=a,
1 AA1 = b , 点 E , F 分 别 在 棱 BB1 , CC1 上 , 且 BE = BB1 , 3 1 b C1 F = CC1 .设 λ = . 3 a A
本卷第 5 页(共 15 页)
A1 B1
C1 F
E C B (第 22 题图)
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(
  1)当 λ =3 时,求异面直线 AE 与 A1 F 所成角的大小; (
  2)当平面 AEF ⊥平面 A1 EF 时,求 λ 的值.

  23.(本小题满分 10 分) 一个袋中装有黑球,白球和红球共 n( n ∈ N* )个,这些球除颜色外完全相同.已知从袋 中任意摸出 1 个球,得到黑球的概率是
2 .现从袋中任意摸出 2 个球. 5 4 (
  1)若 n=15,且摸出的 2 个球中至少有 1 个白球的概率是 ,设 ξ 表示摸出的 2 个球 7
中红球的个数,求随机变量 ξ 的概率分布及数学期望 Eξ ; (
  2)当 n 取何值时,摸出的 2 个球中至少有 1 个黑球的概率最大,最大概率为多少?
2010 年苏,锡,常,镇四市高三教学情况调查(一) 数学Ⅰ试题参考答案 数学Ⅰ试题参考答案
一,填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 填空题:本大题共 小题,
2
  1. 3
2

  2. 10

  3. 2
  11.

  4. 0

  5.
3 7

  6. 2

  7.
  2)
  4)
  8. ( (
q

  9. [
1 ,0] 2

  10. n 9n + 40
5
  12. 1 或 2
  13. 0
  14. 7 2 解答题: 小题, 解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 二,解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
4
  15.解:
  1) ∵ a 2 = b 2 + c 2 2bc cos A = 26c 2 10c 2 × = 18c 2 , ( 5
∴ a = 3 2c . ∵ cos A = ∵
4 ,0 < A < π , 5
…………………………………2 分 ∴ sin A =
3 . 5
a c = , sin A sin C
本卷第 6 页(共 15 页)
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3 c sin A 5 = 2 . ……………………………5 分 ∴ sin C = = a 3 2c 10 c×
(
  2)∵ c < a ,∴ C 为锐角,
7 2 . 10 3 4 24 ∵ sin 2 A = 2sin A cos A = 2 × × = , 5 5 25
∴ cos C = 1 sin 2 C =
cos 2 A = 2cos 2 A 1 = 2 ×
16 7 1 = , ………………………8 分 25 25
∴ sin(2 A + C ) = sin 2 A cos C + cos 2 A sin C
24 7 2 7 2 7 2 × + × = . ………………………10 分 25 10 25 10 10 sin B b (
  3)∵ b = 5c , ∴ = = 5 , sin B = 5sin C . sin C c =
3 15 3 ∴ sin B sin C = sin 2 C = . 2 2 20
……………12 分
1 3 a2 又∵S= bc sin A = c 2 = , 2 2 12

a2 3 = , 12 20
∴a =
3 5 . 5
……………………14 分

  16.证明:
  1)取 PC 中点 F ,连结 EF , BF , (
∵ E 为 PD 中点,
1 ∴ EF ‖ DC 且 EF = DC .………2 分 2
P E D F C
∵ AB ‖ DC 且 AB =
1 DC , 2
∴ EF ‖ AB 且 EF = AB .……………4 分 ∴四边形 ABFE 为平行四边形. ∴ AE ‖ BF . …………………6 分
A
B
∵ AE 平面 PBC , BF 平面 PBC , ∴ AE ‖平面 PBC . ………………8 分
(第 16 题图)
(
  2)∵ PB ⊥ AC , BD ⊥ AC , PB ∩ BD = B , ∴ AC ⊥ 平面 PBD . ∵ PD 平面 PBD , ∴ AC ⊥ PD . …………………………………………10 分
本卷第 7 页(共 15 页)
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∵ AP = AD , E 为 PD 的中点, ∴ PD ⊥ AE . …………………………………………12 分
∵ AE ∩ AC = A , ∴ PD ⊥平面 ACE .
  17.解: (
  1)由已知,得
c 2 a = 3 , 2 a = 9 , c 2
a = 3, 解得 c =
  2.
…………………………………………14 分
……………………………………2 分
a 2 = 9, ∴ 2 b =
  5.
………………………………4 分
x2 y2 + = 1 .………………………………6 分 9 5 9 (
  2)设点 P ( x1 , y1 ) ( 2 < x1 < 3 ) ,点 M ( , y2 ) , 2
∴椭圆 C 的标准方程为
∵点 F ,P,M 三点共线, x1 ≠ 2 , ∴
y1 y 13 y1 = 2 , y2 = , 13 2( x1 +
  2) x1 + 2 2
9 13 y1 ∴点 M ( , ). 2 2( x1 +
  2)
……………………………………………8 分
∵ k1 =
y1 13 y1 , k2 = , x1 3 3( x1 +
  2) y1 13 y1 13 y12 × = . x1 3 3( x1 +
  2) 3( x1 +
  2)( x1
  3)
∴ k1 k2 =
……………………10 分
5 ∴ y12 = ( x12
  9) . 9
∵点 P 在椭圆 C 上,

x12 y12 + =1, 9 5
5 13 × ( )( x12
  9) 65 x + 3 65 1 9 ∴ k1 k2 = = × 1 = × (1 + ) .……………12 分 3( x1 +
  2)( x1
  3) 27 x1 + 2 27 x1 + 2
∵ 2 < x1 < 3 , ∴ k1 k2 <
26 . 9
26 ). 9
∴ k1 k 2 的取值范围是 (∞,

  18.解:
  1) AM = (
……………………………………14 分
…………………………………2 分
3x (10 ≤ x ≤
  30) . x9
本卷第 8 页(共 15 页)
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