上海黄浦区2010届高三暑假质量检测文科数学(二)



学年度高三年级暑假质量检测(一) 黄浦区 2009-2010 学年度高三 数学试卷(文科 数学试卷 文科) 文科 考生注意:
  1、每位考生应同时收到试卷和答题纸两份材料,解答必须在答题纸上进行,写在试卷 上的解答一律无效;
  2、答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题纸上填写清楚;
  3、本试卷共 21 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟.
只需将结果填写在答题纸上) 一、填空题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.只需将结果填写在答题纸上 填空题 本大题共 小题,
  1、关于 x的方程( 2 + x)i = 2 ? x(i是虚数单位)的解x =
  2、 函数 y = f ( x )存在反函数,且反函数为f 定义域是
  3、若函数 f ( x ) =
  4、 计算: ? C n 2 2
n 1 ?1

( x) = x ? 1( x ≥
  0),则函数y = f ( x) 的

x ? ax ? 2 是定义域为 R 的偶函数,则实数 a = 2 +1
x
n ?1
. .
2 r n + C n 2 n ? 2 + ? + (?
  1) r C n 2 n ? r + ? + (?
  1) n C n (n ∈ N * ) =

  5、已知全集 U = R,A = ? x |
? ?
x ?1 ? ≥
  0,x ∈ R ? , B = {x || x ? 1 |≤
  1,x ∈ R} ,则 x?2 ?

(C R A) ∩ B =

  6、 某中学即将举行 2009 届高三学生毕业典礼, 校领导准备从高三(
  1)班的 7 名优秀毕业生(3 名男生,4 名女生)中随机抽取 2 名学生在毕业典礼上发言,则抽到的 2 名学生恰好是 1 男 1 女的概率是 .

  7、已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴正半轴重合,点 P (?4m, ) ( m > 0 )是角 α 终边 3m 上一点,则 2 sin α + cos α = 该圆柱体的体积是 .

  8、把圆柱体的侧面沿母线展开后得到一个矩形,若矩形的一组邻边长分别为 8π和4π ,则 .

  9、直线 l 经过点 P (1
  1),且与圆:x 2 + y 2 ? 4 x + 6 y ? 4 = 0 相切,则直线 l 的方程 , 是 . .

  10、已知下列程序框图输出的结果是 y = 3 ,则输入框中 x 的所有可能值是
11 、 已 知 等 比 数 列 {a n } 的前n项和S n = 3 ? b(n ∈ N ) , 则 lim (
n ?
n →∞
1 1 1 + +?+ ) a1 a 2 an



  12、 设α ∈ (
  0, ),则
π 2
3 + 2 sin α cos α 的最小值是 sin α + cos α

每小题都给出四个选项, 二、选择题(本大题共 4 小题,共 16 分.每小题都给出四个选项,其中有且仅有一个结论正 选择题 本大题共 小题, 并将答题纸对应题号上的字母涂黑,否则一律得零分) 确,选对得 4 分,并将答题纸对应题号上的字母涂黑,否则一律得零分 13 ( 、 “ ) A、充要条件. B、充分非必要条件. 直 线
l上有两点到平面α的距离相等”是“直线l与平面α 平行”的
C、必要非充分条件. D、非充分非必要条件.
  14、若线性方程组 ? A、1 . 15
? x + λy = λ ? 2 无解,则实数λ = ?λx + y = 3
B、-1 . C、 ± 1 . D、以上都错 .
(
)
?ABC的顶点是A(?
  4,、B(
  4,、C,又C是椭圆
  0)
  0)
x2 y 2 + = 1上异于长轴端点的点, 25 9

sin A + sin B = sin C
A、
  2. B、
(
)
5 . 4
C、
5 . 34
D、
1 . 2

  16、已知四棱锥 P ? ABCD的底面是∠BAD = 60 的 菱形,如图(
  1)所示,则该四棱锥的主 视图(AB 平行于主视图的投影平面)可能是 ( )
解答下列各题需要写出必要的步骤, 三、解答题(本大题共 5 题,满分 74 分.解答下列各题需要写出必要的步骤,并把解题过程 解答题 本大题共 清楚地书写在答题纸上) 清楚地书写在答题纸上
  17、本大题满分 12 分(其中 、 其中(
  1)6 分,(
  2)6 分) 其中 已知三棱锥 P ? ABC 的棱长都是
  2,点 D 是棱 AP 上不同于 P 的点. (
  1)试用反证法证明直线 BD 与直线 CP 是异面直线. (
  2)求三棱锥 P ? ABC 的体积 VP ? ABC .

  18、本大题满分 12 分 、
某工厂生产甲、乙两种产品所需原材料吨数及一周内可用工时总量如下表所示. 每吨甲产品消耗 原材料(吨数) 生产时间(小时) 3 5 每吨乙产品消耗 2 1 每周可供使用的总量 16 15
已知销售甲、乙产品每吨的利润分别为 5 万元和 2 万元.试问生产甲、乙两种产品各多 少吨时,该厂每周获得的利润最大?

  19、本大题满分 16 分(其中 、 其中(
  1)8 分,(
  2)8 分) 其中 已知 x ∈ R,ω
1 1 π 1 >
  0, = ( , u sin( ω x + )), = (cos ω x,3 sin ω x ) ,函数 v 2 2 2 2
π
2

f ( x) = 1 + u ? v 的最小正周期为
(
  1)求 ω 的值.
(
  2)求函数 y = f ( x )在区间[
  0, ]上的取值范围 .
π
8

  20、本大题满分 16 分(其中 、 其中(
  1)8 分,(
  2)8 分) 其中 若 数 列 都 成
{an } 满足an+ 2 + pan+1 + qan = 0(其中p 2 + q 2 ≠
  0,且p、q为常数)对任意n ∈ N *
立,则我们把数列 {a n } 称为“L 型数列” .
(
  1)试问等差 数列{an }、等比数列{bn }(公比为r)是否为 L 型数列?若是, 写出对应 p、 q 的值;若不是,说明理由. (
  2)已知 L 型数列 {a n } 满足 a1 =
  1,a2 =
  3,an +1 ? 4an + 4an ?1 = 0( n ≥
  2,n ∈ N ) ,证
*
明:数列 {an +1 ? 2an } 是等比数列,并进一步求出 {a n } 的通项公式 an .

  21、本大题满分 18 分(其中 、 其中(
  1)8 分,(
  2)10 分) 其中 已知点 P (
  0,b)是y轴上的动点,点F(
  1,
  0)、M(a,)满足 PM ⊥ PF , 0 动点 N 满 足 2 PN + NM = 0 . (
  1)求动点 N 所在曲线 C 的方程. (
  2)若曲线 C 上的两点 A、B 满足 OA ⊥ OB (O 为坐标原点,A、B 不同于 O 点),试证 明直线 AB 必过定点,并求出这个定点的坐标.
黄浦区 2009 年高考模拟考 数学试卷(文科 数学试卷 文科) 文科 参考答案和评分标准 说明: 说明:
  1、本解答仅列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的 评分精神进行评分。
  2、评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的 评阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题 的内容和难度时, 可视影响程度决定后面部分的给分, 这时原则上不应超过后面部分应给分 数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。
一、填空题: 填空题:
  1、 ? 2i
  7、
2 5
2

  2、 [?1 + ∞)

  3、

  8、 32π
  9、 x
或64π 2 (只填一个给 2 分)
1 2
? 4y + 3 = 0
1 或1 8

  4、
1

  10、 ?
  8、

  5、 (1 2] ,
3
  11、 4

  12、 2 2
  14、A
  15、B
  16、D

  6、   二、选择题:
  13、C 选择题: 三、解答题
  17、本大题满分 12 分(其中 本大题满分 其中(
  1)6 分,(
  2)6 分) 其中 证明 (
  1)(反证法)假设 BD 与 CP 不是异面直线.
4 7
2分

设 BD 与 CP 都在平面 α 上.∵ P ∈ α,D ∈ α ,∴ PD ? α .又 A ∈ PD ,∴ A ∈ α . ∴点 A、B、C、P 都在平面 α 上,这与 P、A、B、C 不共面(P-ABC 是三棱锥)矛盾,于是,假 设不成立. 5分 6分 所以直线 BD 与 CP 是异面直线.
解(
  2) 设锥顶点 P 在底面的射影为 O.∵P-ABC 的棱长都是
  2,∴△ABC 是正三角形. ∴ AO = BO = CO (=
PA 2 ? PO 2 ) ,即O为底面三角形的中心,因此 P-ABC 为正三
棱锥.联结 BO 并延长交 AC 于 E, 则BE ⊥ AC . ∵AB=BC=AC=PB=
  2,∴ BE
= AB sin 60 = 3 .
PB 2 ? BO 2 = 4 ? 4 2 6 = . 3 3
8分
∴ BO =
2 3 3
,进一步可得 PO =
10 分
∴ V P ? ABC =
1 S ?ABC ? PO 3
=
1 2 6 1 ? ? ? 2 ? 2 ? sin 60 3 3 2 2 2 . 3
12 分
=

  18、本大题满分 12 分 本大题满分 解 设工厂一周内生产甲产品 x 吨、乙产品 y 吨,每周所获利润为 z 万元. 依据题意,得约束条件为 1分
?3 x + 2 y ≤ 16 ?5 x + y ≤ 15 ? . ? ?x ≥ 0 ?y ≥ 0 ?
求目标函数 z = 5 x + 2 y 的最大值. 画出约束条件的可行域,如图阴影部分所示。
4分
6分 8分
将直线 5 x + 2 y = 0 向上平移,可以发现,经过可行域的最后一个点 B(
  2,
  5)时,函数
z = 5 x + 2 y 的值最大(也可通过代凸多边形端点进行计算求得), 最大值为
  5×2+
  2×5=20(万
元). 11 分 所以每周生产甲产品 2 吨,乙产品 5 吨时,工厂可获得的周利润最大(20 万元). 12 分
  19、本题满分 16 分(其中 、 其中(
  1)8 分,(
  2)8 分) 其中 解 (
  1)依据题意,有
f ( x) = 1 + u ? v
=1 + ( , sin(
1 π 1 1 + ωx)) ? (cos ωx,3 sin ωx) 2 2 2 2 1 1 1 = 1 + cos ωx + 3 cos ωx ? sin ωx 2 2 2 1 3 cos ωx + sin ωx 2 2
3分
=1 +
= 1 + sin(ωx +
π
6
). 2
,∴ ω =
6分
又 ω >
  0,函数的最小正周期T =
π
2π =
  4. T
8分
(
  2) 由(
  1)可知, f ( x ) = 1 + sin( 4 x +
π
6
).
当0 ≤ x ≤
π 2π , ≤ 4x + ≤ . 10 分 8 2 6 6 3 1 π 3 π 考察正弦函数的图像,进一步有 ≤ sin( 4 x + ) ≤ 1 , ≤ 1 + sin( 4 x + ) ≤ 2 . 15 分 2 6 2 6 π 3 所以函数 y = f ( x )在[
  0, ]上的取值范围是[ ,] . 2 16 分 8 2
时,可得0 ≤ 4 x ≤
π
π π

  20、(本题满分 16 分,其中 、 本题满分 其中(
  1)8 分,(
  2)8 分) (
  1) 答 等差数列 {a n } 、等比数列{bn }(n ∈ N ) 都是 L 型数列.
?
理由 当数列 {a n }( n ∈ N )是等差数列时,有a n + 2 ? a n +1 = a n +1 ? a n ,
?
1分 3分 4分 5分 7分 8分
即 a n + 2 ? 2a n +1 + a n = 0 ,且相应的 p = ?
  2,q = 1 . 所以等差数列 {a n }( n ∈ N ) 是 L 型数列.
?
同样,当数列 {bn }( n ∈ N )是等比数列时,有bn + 2 = rbn +1 (r为公比) ,
?
即 bn + 2 ? rbn +1 + 0 ? bn = 0 ,且相应的 p = ? r , q = 0 . 所以等比数列 {bn }( n ∈ N ) 是 L 型数列.
?
证明 (
  2)∵ a n +1 ? 4a n + 4a n ?1 = 0( n ≥
  2,n ∈ N ) , ∴ a n +1 ? 2a n = 2a n ? 4a n ?1 = 2( a n ? 2a n ?1 ) . 又 a 2 ? 2a1 = 3 ? 2 = 1( ≠
  0) , ∴数列 {a n +1 ? 2a n }( n ∈ N )是以( a 2 ? 2a1 )为首项,公比为2的等比数列 .
?
?
10 分
12
分 于是, a n ? 2a n ?1 = ( a 2 ? 2a1 ) ? 2 ∴ 数列. 14 分 ∴
n? 2
,即 a n ? 2a n ?1 = 2
n?2
( n ≥
  2,n ∈ N ).
?
a n a n ?1 1 a 1 ?a ? ? n?1 = (n ≥
  2,n ∈ N ? ). 因此, ? n ?是以 1 为首项,公差为 的等差 n n 4 2 4 2 2 ?2 ?
an 1 1 1 1 1 = + (n ?
  1) ? , a n = ? 2 n + (n ?
  1) ? 2 n = (n +
  1) ? 2 n (n ∈ N ? ) n 2 4 2 4 4 2
所以 数列{a n } 的通项公式是a n =
1 (n +
  1) ? 2 n (n ∈ N ? ) . 4
1分
16 分

  21、本大题满分 18 分(其中 、 其中(
  1)8 分,(
  2)10 分) 其中 解 (
  1)设动点 N ( x,y ) .
依据题意,有 PN = ( x,y ? b), = ( a, b), = (
  1, b) , NM = (a ? x, y ) .3 PM ? PF ? ? 分 又 PM ⊥ PF,PN + NM = 0 ,则 2
?a + b 2 = 0 ? PM ? PF = 0 ? ? ,进一步有 ? x = ? a .因此, y 2 = 4 x ( x ≥
  0) . ? ? 2 PN = ? NM ? y = 2b ? ?
所以曲线 C 的方程是 y 2 = 4 x ( x ≥
  0) .
7分
8分
证明(
  2) 因 A、B 是曲线 C: y 2 = 4 x ( x ≥
  0) 上不同于原点的两点,
可设 A( 则
y12 y2 ,y1 ) 、 B( 2 ,y 2 )( y1 ≠ y
  2,y1 y 2 ≠
  0) , 4 4
OA = (
y12 y2 y2 y2 ,y1 ) 、 OB = ( 2 ,y 2 ) , AB = ( 2 ? 1 ,y 2 ? y1 ) . 11 分 4 4 4 4
14
2 y12 y 2 又 OA ⊥ OB ,故 OA ? OB =
  0,即 + y1 y 2 = 0 .所以 y1 y 2 = ?16 . 16
分 由直线 AB 的法向量为 n = ( y1 ? y
  2, 2 ?
y2 4
y12 ) ,可得直线 AB 的方程: 4
( y1 ? y 2 ) ? ( x ?

y12 4
)+(
2 y 2 y12 y + y2 ? )( y ? y1 ) = 0 ,进一步化简为 x ? 1 y ? 4 = 0 .16 4 4 4
所以直线 AB: x ? 证毕!
y1 + y 2 y ? 4 = 0 恒过定点,且定点坐标为(
  4,
  0). 4
18 分
 

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  蓝天家教网 http://www.ltjiajiao.com 伴你快乐成长80 中学高三英语试卷 August 28, 2008 第一卷(三部分,共 115 分) 第一部分:听力理解(共两节,满分 30 分) 第一节(共 5 小题;每小题 1.5 分,满分 7.5 分) 听下面 5 段对话.每段对话后有一个小题,从题中所给的 A,B,C 三个选项中选出最佳 选项,并标在试卷的相应位置.听完每段对话后,你都有 10 秒钟的时间来回答有关小题和阅 读下一小题.每段对话仅读一遍. 例:What is ...

不同等级城市的服务功能PPT6

  第二节不同等级城市的服务功能溧阳市埭头中学高一地理备课组一.城市的不同等级: 城市的不同等级: 城市等级的划分: 1、城市等级的划分: (1)城市等级的划分依据 城市等级的划分依据: (1)城市等级的划分依据: 城市人口规模 (2)一般城市的等级划分 集镇、城市、大城市、 一般城市的等级划分: (2)一般城市的等级划分: 集镇、城市、大城市、特大城市等 (3)我国城市等级的划分 我国城市等级的划分: (3)我国城市等级的划分:小城市: 万以下 小城市:20万以下 大城市: 万 大城市:50万?1 ...