【数学】2010年高考数学试题分类汇编??函数(填空题)



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2010 年高考数学试题分类汇编??函数 年高考数学试题分类汇编?? 数学试题分类汇编??函数
上海文数) (2010 上海文数)
  14.将直线 l1 : x + y ? 1 = 0 、 l2 : nx + y ? n = 0 、 l3 : x + ny ? n = 0 ( n ∈ N ,
*
n ≥ 2 )围成的三角形面积记为 Sn ,则 lim S n =
n →∞
1 2

解析:B (
n n 1 n 2 n ?1 2? )= , ) 所以 BO⊥AC, Sn = × 2 × ( n +1 n +1 2 n +1 2 2(n +
  1)
1 2
所以 lim S n =
n →∞
( 2010 上 海 文 数 )
  9. 函 数 f ( x ) = log 3 ( x +
  3) 的 反 函 数 的 图 像 与 y 轴 的 交 点 坐 标 是 (0,?
  2) 。 解析:考查反函数相关概念、性质
x 法一:函数 f ( x ) = log 3 ( x +
  3) 的反函数为 y = 3 ? 3 ,另 x=
  0,有 y=-2
法二: 函数 f ( x ) = log 3 ( x +
  3) 图像与 x 轴交点为 (-2,
  0)利用对称性可知, , 函数 f ( x ) = log 3 ( x +
  3) 的反函数的图像与 y 轴的交点为(
  0,-
  2) 湖南文数) (2010 湖南文数)
  10.已知一种材料的最佳加入量在 100g 到 200g 之间,若用
  0.618 法安排试验, 则第一次试点的加入量可以是 g 【答案】1
  71.8 或 1
  48.2 【解析】根据
  0.618 法,第一次试点加入量为 1
  10+(2
  10-1
  10) ×
  0.6
  18=1
  71.8 或 2
  10-(2
  10-1
  10) ×
  0.6
  18=1
  48.2
【命题意图】本题考察优选法的
  0.618 法,属容易题。
陕西文数) (2010 陕西文数)
  13.已知函数 f(x)= ?
?3x + 2, x < 1,
2 ? x + ax, x ≥ 1,
若 f(f(
  0) )=4a,则实数 a= 2 .
解析:f(
  0)=
  2,f(f(
  0) )=f(
  2)=4+2a=4a,所以 a=2 (2010 重庆文数)(
  12)已知 t > 0 ,则函数 y =
t 2 ? 4t + 1 的最小值为 . t
t 2 ? 4t + 1 1 解析: y = = t + ? 4 ≥ ?2(∵ t >
  0) ,当且仅当 t = 1 时, ymin = ?2 t t
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浙江文数) (
  16) 某商家一月份至五月份累计销售额达 3860 万元,预测六月份销售额为 (2010 浙江文数) 500 万元,七月份销售额比六月份递增 x\%,八月份销售额比七月份递增 x\%,九、十月份销售总 额与七、八月份销售总额相等,若一月至十月份销售总额至少至少达 7000 万元,则,x 的最小 值 。 答案:20
( 2010
重 庆 理 数 ) ( 15 ) 已 知 函 数
f ( x) 满 足 :
f (
  1) =
1 , 4
4 f ( x ) f ( y ) = f ( x + y ) + f ( x ? y )( x, y ∈ R ) ,则 f ( 2010 ) =.
解析:取 x=1 y=0 得 f (
  0) =
1 2
法一:通过计算 f (
  2), f (
  3), f (
  4)........ ,寻得周期为 6 法二:取 x=n y=1,有 f(n)=f(n+
  1)+f(n-
  1),同理 f(n+
  1)=f(n+
  2)+f(n) 联立得 f(n+
  2)= ?f(n-
  1) 所以 T=6 故 f ( 2010 ) =f(
  0)=
1 2
(2010 天津文数) 天津文数) (
  16)设函数 f(x)=x-
1 ,对任意 x ∈ [1, +∞),f(mx)+mf(x)<0 恒成立,则实 x
数 m 的取值范围是 【答案】m<-1 【解析】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想,属于难题。 已知 f(x)为增函数且 m≠0 若 m>
  0,由复合函数的单调性可知 f(mx)和 mf(x)均为增函数,此时不符合题意。 M<0 , 时 有 mx ?
1 m 1 1 1 + mx ? < 0 ? 2mx ? (m ? ) ? < 0 ? 1 + 2 < 2 x 2 因 为 y = 2 x 2 在 mx x m x m 1 x ∈ [1, +∞) 上的最小值为
  2,所以 1+ 2 < 2 即 m 2 >1,解得 m<-
  1. m
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值 的方法求解。 天津理数) (
  16)设函数 f ( x) = x 2 ? 1 ,对任意 x ∈ [ , +∞) , (2010 天津理数)
3 2
?x? f ? ? ? 4m 2 f ( x) ≤ f ( x ?
  1) + 4 f (m) 恒成立,则实数 m 的取值范围是 ?m?
【答案】D 【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法,属于难题。
.
x2 3 2 2 2 2 依 据 题 意 得 2 ? 1 ? 4m ( x ?
  1) ≤ ( x ?
  1) ? 1 + 4( m ?
  1) 在 x ∈ [ , +∞) 上 恒 定 成 立 , 即 m 2
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1 3 2 3 ? 4m 2 ≤ ? 2 ? + 1 在 x ∈ [ , +∞) 上恒成立。 2 m x x 2 3 3 2 5 1 5 时 函 数 y = ? 2 ? +1 取 得 最 小 值 ? , 所 以 ? 4m 2 ≤ ? , 即 当 x= 2 2 x x 3 m 3
(3m 2 +
  1)(4m 2 ?
  3) ≥ 0 ,解得 m ≤ ?
3 3 或m ≥ 2 2
【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值 的方法求解
广东理数) (2010 广东理数)
  9. 函数 f ( x ) =lg( x -
  2)的定义域是
  9. (1,+∞) .∵ x ? 1 > 0 ,∴ x > 1 . 广东文数) (2010 广东文数)
.
理数) ( 2010 全国卷 1 理数 ) (
  15)直线 y = 1 与曲线 y = x ? x + a 有四个交点,则 a 的取值范围
2

.
2 湖南理数)
  14. (2010 湖南理数) 过抛物线 x = 2 py ( p>
  0) 的焦点作斜率为 1 的直线与该抛物线交于 A, B 两
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点, A, B 在 x 轴上的正射影分别为 D, C .若梯形 ABCD 的面积为 12 2 ,则 p =


  3. (2010 福建理数)
  15.已知定义域为
  0, ∞) 福建理数) ( + 的函数 f(x) 满足:①对任意 x ∈
  0, ∞) ( + ,恒有
f(2x)=2f(x) 成立;当 x ∈ (
  1,2] 时, f(x)=2-x 。给出如下结论:
+ ;③存在 n ∈ Z ,使得 f(2n +
  1)=9 ; ①对任意 m ∈ Z ,有 f(2 m )=0 ;②函数 f(x) 的值域为 [
  0, ∞)
④“函数 f(x) 在区间 (a, b) 上单调递减”的充要条件是 “存在 k ∈ Z ,使得
(a, b) ? (2 k , 2 k +1 ) ” 。
其中所有正确结论的序号是 【答案】①②④
m

【解析】对①,因为 2 >0 ,所以 f(2 m )=0 ,故①正确;经分析,容易得出②④也正确。 【命题意图】本题考查函数的性质与充要条件,熟练基础知识是解答好本题的关键。
4 . (2010 江苏卷)
  5、设函数 f(x)=x(ex+ae-x)(x ∈R) 江苏卷) R)是偶函数,则实数 a= [解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=ex+ae-x 为奇函数,由 g(
  0)=
  0,得 a=-
  1。
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? 2 2
  5. (2010 江苏卷)
  11、已知函数 f ( x) = ? x + 1, x ≥ 0 ,则满足不等式 f (1 ? x ) > f (2 x) 的 x 的范围 江苏卷) x<0 ?1,
是。
2 ? [解析] 考查分段函数的单调性。 ?1 ? x > 2 x ? x ∈ (?1, 2 ?
  1) ? 2
?1 ? x > 0 ?

  6. (2010 江苏卷)
  14、将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中一 江苏卷)
块是梯形,记 S =
2 (梯形的周长) ,则 S 的最小值是。 梯形的面积
[解析] 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。
小正三角形的边长为 x ,则: S = 设剪成的小正 小正
(3 ? x) 2 4 (3 ? x) 2 = ? (0 < x <
  1) 2 1 3 3 1? x ? ( x +
  1) ? ? (1 ? x) 2 2
(方法一)利用导数求函数最小值。 方法一)利用导数求函数最小值。
S ( x) =
4 (3 ? x) 2 4 (2 x ?
  6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x) 2 ? (?2 x) ? , S ′( x) = ? 2 (1 ? x 2 ) 2 3 1? x 3
=
4 (2 x ?
  6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x) 2 ? (?2 x) 4 ?2(3 x ?
  1)( x ?
  3) ? = ? 2 2 (1 ? x ) (1 ? x 2 ) 2 3 3
1 S ′( x) = 0, 0 < x < 1, x = , 3 1 1 当 x ∈ (0, ] 时, S ′( x ) < 0, 递减;当 x ∈ [ ,
  1) 时, S ′( x ) > 0, 递增; 3 3
故当 x =
1 32 3 时,S 的最小值是 。 3 3
(方法二)利用函数的方法求最小值。 方法二)利用函数的方法求最小值。 令 3 ? x = t , t ∈ (2,
  3), ∈ ( , ) ,则: S =
1 t
1 1 3 2
4 t2 4 1 ? 2 = ? 3 ?t + 6t ? 8 3 ? 8 + 6 ?1 t2 t
故当 =
1 t
3 1 32 3 , x = 时,S 的最小值是 。 8 3 3
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