重庆外国语学校09-10学年高一上学期期末考试(数学)



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四川外语学院附属外国语学校 2009? 2009?2010 学年上期期末考试
高一数学试题
(满分 150 分,120 分钟完成)
命题人 审题人
肖必伦 甘 华
一、选择题(每题 5 分,共 50 分)

  1.已知集合 M = {a, b, c} 中的三个元素是 ?ABC 的三条边长,那么 ?ABC 一定不是 ( .. (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形 )

  2.设集合 A = { x | x > 3} , B = {x | A. φ B. (3,
  4)
x ?1 < 0} ,则 A I B = x?4 C. (?2,
  1)
( D. ( 4,+∞) (


  3.设 m、n 是整数,则“m、n 均为偶数”是“ m + n 是偶数”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

x 1
  4.若函数 y=f ( x ) 是函数 y = a ( a > 0, a ≠
  1) 的反函数,且 f (
  2)= ,则 f ( x )=


A. log 2 x
B.
1 2x
C. log 1 x
2
D. 2 x? 2

  5.函数 y = log 2
2? x 的图像 2+ x
B.关于直线 y = ? x 对称 D.关于直线 y = x 对称


A.关于原点对称 C.关于 y 轴对称

  6.已知函数 f ( x ) = lg( ax 2 + 2 x +
  1) , 命题 p:若 f ( x ) 的定义域为 R,则
  0≤a≤
  1;命题
q:若 f ( x) 的值域为 R,则
  0≤a≤
  1.那么
A.p 真 q 假 B.p 假 q 真 C. p 或 q”为假 “
( D. p 且 q”为真 “


  7.已知偶函数 f ( x ) 在区间 [0,+∞) 单调递增,则满足 f ( 2 x ?
  1) < f ( ) 的 x 取值范围是( A. ( , )
1 3
)
1 2 3 3
B. [ , )
1 2 3 3
C. ( , )
1 2 2 3
D. [ , )
1 2 2 3
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  8.已知二次函数 f ( x) = ax 2 + bx + c ,且函数 y = f ( x +
  3) 为偶函数,则在函数值 f (?
  1) 、
f (
  2) 、 f (
  5) 、 f (
  7) 中,最大的一个不可能是
A. f (?
  1) B. f (
  2) C. f (
  5)
2n
( D. f (
  7)


  9.已知等比数列 {a n } 满足 a n > 0, n = 1,2, L ,且 a 5 ? a 2 n ?5 = 2 ( n ≥
  3) ,则当 n ≥ 1 时,
log 2 a1 + log 2 a3 + L + log 2 a 2 n ?1 =
A. n( 2n ?
  1)
  10.函数 y = B. ( n +
  1) 2 C. n
2
( D. ( n ?
  1) 2

x?2 x ?1 A.在(1 ,+∞) 上单调递增 C.在(1 ,+∞) 上单调递减
( B.在(
  1,
  2)上单调递增 D.在(
  1,
  2)上单调递减

二、填空题(每题 5 分,共 25 分)

  11.函数 y = x 2 + 2 x + 3 ( ? 3 ≤x≤
  2)的值域为.
  12.函数 y = log 1 (? x + 4 x +
  5) 的单调递增区间是.
2 2

  13.已知等差数列 {an } 、 {bn } 的前 n 项和分别为 S n 、 Tn ,若 .
S n 3n + 15 a = ,则 9 = Tn 5n + 7 b9

  14.在数列 {a n } 中,若 a1 = 1 , a n +1 = 2a n + 3 ( n≥
  1),则该数列的通项 a n = .
  15.已知方程 x + mx + 4 = 0 的一根小于
  1,另一根大于
  2,则实数 m 的取值范围是
2

三、解答题(共 75 分)

  16. (本题满分 13 分) 已知不等式 (a ?
  2) x 2 + 2( a ?
  2) x ? 4 <0 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围.
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  17. (本题满分 13 分) 已知命题 p:方程 x + mx + 1 = 0 有两个不等的实数根,命题 q:方程 4 x 2 + 4( m ?
  2) x
2
+ 1 = 0 没有实数根.若“p 或 q”为真, p 且 q”为假,求实数 m 的取值范围. “

  18. (本题满分 13 分) 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和 S n = n ,
2

  1)求数列 {a n } 的通项公式; (
  2)设 bn =
1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . a n a n ?1

  19. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2 + log 3 x (
  1≤x≤
  9) g ( x) = [ f ( x )] 2 + f ( x 2 ) . , (
  1)求函数 g (x ) 的解析式及定义域; (
  2)求函数 g (x ) 的最大值与最小值及相应的 x 值.

  20. (本题满分 12 分) 已知数列{ an }满足 a1 = 2 , a 2 = 8 , a n + 2 = 4a n +1 ? 4a n . (
  1)证明 {a n +1 ? 2a n } 是等比数列;
an } 是等差数列; 2n (
  3)设 S = a1 + a 2 + a 3 + L + a 2010 ,求 S 的值.

  2)证明 {
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  21. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = 2 ?
x
1
x

2 (
  1)若 f ( x ) = 2 ,求 x 的值;
(2 ) 若 2 t f ( 2t ) + mf (t ) ≥0 对于 t ∈ [1,2] 恒成立,求实数 m 的取值范围.
2009?2010 2009?2010 学年上期期末考试
高一数学参考答案
一、选择题
DBAAA
BACCD

  12. [ 2,
  5)
  13.
二、填空题
  11. [2,11] 三、解答题
33 46

  14. 2
n +1
?3

  15. m ≤ 5

  16.若 a = 2 ,不等式可化为 ? 4 <
  0,显然对一切实数 x 恒成立; 若 a ≠ 0 ,要一元二次不等式 (a ?
  2) x 2 + 2(a ?
  2) x ? 4 <0 对一切实数 x 恒成立, 只需
a ? 2 <0 且 ? = 4(a ?
  2) 2 ? 4(a ?
  2)(?
  4) <
  0,解得 ? 2 <a<
  2,
综上可知:实数 a 的取值范围是 ? 2 <a≤
  2.

  17.解:由已知命题 p,q 中有且仅有一个为真,一个为假.
p: ? = m 2 ? 4 > 0 ? m >2 或 m< ? 2 . q: ? = 16(m ?
  2) 2 ? 16 < 0 ? 1 <m<
  3.
若 p 假 q 真,则 ?
?? 2 ≤ m ≤ 2 ? 1 <m≤
  2; ?1 < m < 3
?m > 2或m < ?2 ? m ≥3 或 m< ? 2 . 若 p 真 q 假, ? ?m ≤ 1或m ≥ 3
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综上所述 m ∈ ( ?∞,?
  2) U (1,2] U [3,+∞) .
  18.解: (
  1)当 n ≥ 2 时, a n = S n ? S n ?1 = n 2 ? ( n ?
  1) 2 = 2 n ? 1 , 又 a1 = S1 = 1 , 所以数列 {a n } 的通项公式为 (
  2)因为 bn =
a n = 2n ? 1 .
1 1 1 1 1 ), = = ( ? a n a n +1 (2n ?
  1)(2n +
  1) 2 2n ? 1 2n + 1
所以 Tn = b1 + b2 + L + bn =
1 1 1 1 1 1 )] [(1 ? ) + ( ? ) + L + ( ? 2 3 3 5 2 n ? 1 2n + 1 1 1 n = (1 ? )= . 2 2n + 1 2n + 1
2 2 2 2

  19. 解: (
  1)由 g ( x ) = [ f ( x )] + f ( x ) = ( 2 + log 3 x ) + ( 2 + log 3 x ) 为
2 g ( x ) = log 3 x + 6 log 3 x + 6 , ?1 ≤ x ≤ 9 由? 得 g (x ) 的定义域为 1 ≤ x ≤ 3 . 2 ?1 ≤ x ≤ 9
得 g (x ) 的解析式
, (
  2)因为 g ( x ) = log 3 x + 6 log 3 x + 6 = (log 3 +
  3) ? 3 ( 1 ≤ x ≤ 3 )
2 2
又 0 ≤ log 3 x ≤ 1 , 所以 当 当
log 3 x = 0 即 x = 1 时, g ( x) min = 6 ; log 3 x = 1 即 x = 3 时, g ( x) max = 13 .
∴ a n + 2 ? 2a n +1 = 2( a n +1 ? 2a n ) , 又 a 2 ? 2a1 = 4

  20.解: (
  1)∵ a n + 2 = 4a n +1 ? 4a n 即
a n + 2 ? 2a n +1 =
  2, a n +1 ? 2a n
∴ 数列 {a n +1 ? 2a n } 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列. (
  2)由(
  1)知, a n +1 ? 2a n = 4 ? 2 ∴ 数列 { (
  3)∵ ∴
n ?1
= 2 n +1 ,∴
a n +1 a n a ? n =
  1, 又 1 =
  1, n +1 2 2 2
an } 是首项为
  1,公差为 1 的等差数列,即正整数列. 2n
an = n , ∴ a n = n ? 2 n , 又 S = a1 + a 2 + a 3 + L + a 2010 , n 2 S = 2 + 2 ? 2 2 + 3 ? 2 3 + L + 2010 ? 2 2010 2 S = 2 2 + 2 ? 2 3 + 3 ? 2 4 + L + 2010 ? 2 2011 S = 2009 ? 21011 + 2 .
① ② ① ? ② 得
? S = 2 + 2 2 + 2 3 + L + 2 2010 ? 2010 ? 2 2011 = 2 2011 ?2 ? 2010 ? 2 2011

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  21. 解: (
  1)当 x ≤ 0 时, f ( x ) = 0 ≠ 2 ; 当 x > 0 时, f ( x ) = 2 ?
x
1 , 2x
由 2 ?
x
1 = 2 得 22x ? 2 ? 2 x ? 1 = 0 , 得 2 x = 1 ± 2 , 2x
x
因为 2 > 0 , 所以 x = log 2 (1 + (
  2)因为 t ∈ [1,2] ,由 2 ( 2
t
2t

  2) .
?
1 1 ) + m( 2 t ? t ) ≥ 0 得 2t 2 2
m(2 2t ?
  1) ≥ ?(2 4t ?
  1) , 又 2 2t ? 1 > 0 , 所以 m ≥ ?(2 2t +
  1) ①
因为 ? ( 2 2t +
  1) 在 [1,2] 上的最大值为 ? 5 ,要①式在 [1,2] 上恒成立, 只需 m ≥ ?5 , 故 m ∈ [ ?5,+∞ ) .
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